5 Стандартные базисы и примеры

Стандартные базисы и примеры

Слово «стандартный» не означает единственный возможный базис. Оно обозначает наиболее естественный выбор для конкретного пространства.

Обозначим через $\mathcal{P}_n(F)$ пространство многочленов степени не выше $n$ с коэффициентами из поля $F$ . В численных примерах берём $F=\mathbb{R}$ . Через $M_{m\times n}(\mathbb{R})$ обозначим пространство всех вещественных матриц размера $m\times n$ .

Пространство	Стандартный базис	Число векторов в базисе
$\mathbb{R}^n$	$\vec e_1,\ldots,\vec e_n$ , где у $\vec e_i$ единица на позиции $i$	$n$
$\mathcal{P}_n(F)$	$(1,x,x^2,\ldots,x^n)$	$n+1$
$M_{m\times n}(\mathbb{R})$	Матричные единицы $E_{ij}$	$mn$

В пространстве матриц $E_{ij}$ содержит единицу на месте $(i,j)$ и нули на остальных местах. В некоторых источниках те же матричные единицы обозначаются $M_{ij}$ . Здесь сохраняем запись $E_{ij}$ , чтобы не путать матричную единицу с минором $M_{ij}$ , введённым в статье 3. Например, стандартный базис $M_{2\times2}(\mathbb{R})$ равен

\left( \begin{pmatrix}1&0\\0&0\end{pmatrix}, \begin{pmatrix}0&1\\0&0\end{pmatrix}, \begin{pmatrix}0&0\\1&0\end{pmatrix}, \begin{pmatrix}0&0\\0&1\end{pmatrix} \right)

В указанном порядке координаты матрицы считываются по строкам:

\left[ \begin{pmatrix}a&b\\c&d\end{pmatrix} \right]_{\mathcal E} = \begin{pmatrix}a\\b\\c\\d\end{pmatrix}

Не каждое пространство конечномерно. Например, в пространстве всех многочленов $\mathbb{R}[x]$ наборы

1,x,\ldots,x^k

линейно независимы для любого $k$ . Поэтому никакой конечный список не может быть базисом всего $\mathbb{R}[x]$ . В этой статье далее под словом «размерность» без уточнения подразумевается конечная размерность.