9 Ортогональные и ортонормированные базисы

Ортогональные и ортонормированные базисы

В статье 5 мы ввели стандартное скалярное произведение $\vec u\cdot\vec v$ в $\mathbb{R}^n$ , длину и ортогональную проекцию. В общей формулировке скалярное произведение будем обозначать $\left(\vec u,\vec v\right)$ . Далее работаем в конечномерном вещественном пространстве со скалярным произведением и используем эту запись. Для координатных вычислений в $\mathbb{R}^n$ она совпадает с точкой:

\left(\vec u,\vec v\right)=\vec u\cdot\vec v, \qquad \|\vec v\|=\sqrt{\left(\vec v,\vec v\right)}.

Так тот же инструмент помогает строить базисы, в которых координаты находятся без решения системы.

Базис $\mathcal B=(\vec b_1,\ldots,\vec b_n)$ называется:

ортогональным, если $\left(\vec b_i,\vec b_j\right)=0$ при $i\ne j$ ;
нормированным, если $\|\vec b_i\|=1$ для всех $i$ ;
ортонормированным, если он одновременно ортогонален и нормирован.

Нормированный базис не обязан быть ортогональным. Ортогональный базис не обязан состоять из единичных векторов.

Если $\mathcal B$ ортогонален и

\vec v=c_1\vec b_1+\cdots+c_n\vec b_n

то скалярное умножение на $\vec b_i$ уничтожает все слагаемые, кроме одного:

\left(\vec v,\vec b_i\right) =c_i\left(\vec b_i,\vec b_i\right)

Поэтому координаты находятся без решения системы:

\boxed{ \displaystyle c_i=\frac{\left(\vec v,\vec b_i\right)} {\left(\vec b_i,\vec b_i\right)} }

Для ортонормированного базиса знаменатель равен единице:

c_i=\left(\vec v,\vec b_i\right)

Чтобы нормировать ненулевой вектор, его делят на длину:

\vec q_i=\frac{\vec b_i}{\|\vec b_i\|}

Деление допустимо только при $\vec b_i\ne\vec{0}$ . Базисные векторы всегда ненулевые, поэтому нормировка каждого из них определена.

Если исходный базис не ортогонален, его можно ортогонализовать процессом Грама–Шмидта. Это дальнейшее развитие темы ортогональности; здесь достаточно увидеть один полный шаг для двух независимых векторов $\vec a_1,\vec a_2$ :

\vec u_1=\vec a_1, \qquad \vec u_2=\vec a_2-\frac{\left(\vec a_2,\vec u_1\right)}{\left(\vec u_1,\vec u_1\right)}\vec u_1

Вектор $\vec u_2$ получается после вычитания из $\vec a_2$ его проекции на $\vec u_1$ , поэтому $\vec u_1\perp\vec u_2$ . Затем оба ненулевых вектора можно нормировать.

LaTeX — В процессе Грама–Шмидта из $\vec a_2$ вычитается проекция на $\vec u_1$; остаток $\vec u_2$ ортогонален $\vec u_1$