14 Смена начала отсчёта

Смена начала отсчёта

До сих пор мы меняли базис, но сохраняли одно и то же начало координат. Для векторов этого достаточно: свободный вектор не привязан к конкретной точке. Координаты точки зависят ещё и от выбора начала.

Пусть старое начало — точка $O$ , новое — точка $O'$ , а базис $\mathcal B$ остаётся прежним. Обозначим

\vec a=\left[\overrightarrow{OO'}\right]_{\mathcal B}

Если точка $X$ имеет старые координаты $\vec x$ и новые координаты $\vec x'$ , то

\overrightarrow{OX} =\overrightarrow{OO'}+\overrightarrow{O'X}

В координатах одного базиса это равенство принимает вид

\boxed{ \begin{aligned} \vec x&=\vec a+\vec x'\\ \vec x'&=\vec x-\vec a \end{aligned} }

Перенос начала создаёт добавочный вектор $\vec a$ , поэтому преобразование координат точки является аффинным, а не линейным. В частности, нулевой столбец новых координат соответствует точке $O'$ , а не старой точке $O$ .

Координаты нового начала $O'$ в новой системе равны нулю. При неизменном базисе старое начало $O$ получает новые координаты $-\vec a$ , потому что $\overrightarrow{O'O}=-\overrightarrow{OO'}$ .

Что преобразуется	Формула	Характер преобразования
Координаты свободного вектора при смене базиса	$\left[\vec v\right]_{\mathcal B}=P\left[\vec v\right]_{\mathcal C}$	Линейное: нулевой вектор переходит в нулевой
Координаты точки при переносе начала	$\vec x=\vec a+\vec x'$	Аффинное: появляется добавочный вектор $\vec a$