3 Базис: независимость и полнота

Базис: независимость и полнота

Упорядоченная система векторов

\mathcal B=(\vec b_1,\ldots,\vec b_n)

называется базисом пространства $V$ , если одновременно выполняются два условия:

векторы $\vec b_1,\ldots,\vec b_n$ линейно независимы;
они порождают всё пространство:
$V=\left\langle \vec b_1,\ldots,\vec b_n\right\rangle$

Линейная независимость запрещает лишние векторы, а порождение запрещает недостающие направления. Ни одно из условий нельзя отбросить.

Если система является базисом, любой новый вектор уже лежит в её оболочке, поэтому после добавления возникает зависимость. Обратно, пусть независимая система максимальна, но не порождает $V$ . Тогда существует вектор вне её оболочки. Добавление такого вектора сохраняет независимость, что противоречит максимальности. Значит, максимальная независимая система порождает всё пространство и является базисом.

Пример

В $\mathbb{R}^3$ рассмотрим набор

\vec b_1=(1,1,0), \qquad \vec b_2=(0,1,1), \qquad \vec b_3=(1,0,1)

Составим матрицу из этих векторов-столбцов:

B= \begin{pmatrix} 1&0&1\\ 1&1&0\\ 0&1&1 \end{pmatrix}

Её определитель равен $2\ne0$ , поэтому матрица $B$ обратима. Следовательно, для каждого $\vec v\in\mathbb{R}^3$ система

B\vec x=\vec v

имеет единственное решение. Существование решения означает, что столбцы $B$ порождают $\mathbb{R}^3$ , а единственность решения однородной системы показывает их линейную независимость. Поэтому $\mathcal B=(\vec b_1,\vec b_2,\vec b_3)$ — базис.

Сравним два неудачных набора:

$((1,0,0),(0,1,0))$ независим, но не порождает векторы с ненулевой третьей координатой;
$((1,0,0),(0,1,0),(1,1,0))$ порождает только плоскость $z=0$ и вдобавок зависим, потому что третий вектор равен сумме первых двух.