10 Как дополнить систему до базиса

Как дополнить систему до базиса

Если $\dim V=n$ , а независимая система содержит $k<n$ векторов, можно последовательно добавлять векторы вне уже построенной оболочки. Каждый такой вектор сохраняет независимость и увеличивает оболочку. Не позднее чем после $n-k$ добавлений получится базис.

Для $\mathbb{R}^n$ удобен вычислительный алгоритм.

Запишите данные независимые векторы первыми столбцами.
Допишите справа стандартные векторы $\vec e_1,\ldots,\vec e_n$ .
Просматривайте столбцы слева направо и оставляйте только те, которые увеличивают ранг.
Остановитесь, когда ранг станет равен $n$ .

На каждом шаге матрица показывает, добавилось ли новое независимое направление. Например, для двух столбцов из следующего примера:

Ранг увеличился с $2$ до $3$ , поэтому $\vec e_1$ нужно оставить. После достижения полного ранга остальные стандартные столбцы уже не добавляют новых направлений.

Эквивалентный алгоритм можно оформить строками: исходные векторы записывают строками, приводят матрицу к ступенчатому виду и добавляют стандартные векторы на свободных позициях. Строковая и столбцовая записи дают разные технические маршруты, но проверяют одно условие: каждый добавленный вектор должен увеличить ранг, а итоговая система должна иметь ранг $n$ . Поэтому стандартный вектор нельзя присоединять механически, без этой проверки.

Если исходная система зависима, сохранить все её векторы внутри базиса невозможно: любой набор, содержащий зависимое подмножество, также зависим. Сначала нужно удалить лишние векторы, а затем дополнять оставшуюся независимую систему.

В конечномерном пространстве тот же принцип применим к произвольному подмножеству $S\subseteq V$ : любая максимальная линейно независимая подсистема множества $S$ является базисом его линейной оболочки $\left\langle S\right\rangle$ . Она независима по построению, а каждый оставшийся вектор из $S$ уже выражается через неё; иначе его можно было бы добавить, не нарушив независимость.