4 Почему координаты единственны
Почему координаты единственны
Существование разложения следует из порождающего свойства базиса. Докажем единственность. Предположим, что один вектор имеет два разложения:
\[\vec v=x_1\vec b_1+\cdots+x_n\vec b_n\]
\[\vec v=y_1\vec b_1+\cdots+y_n\vec b_n\]
Вычтем второе равенство из первого:
\[(x_1-y_1)\vec b_1+\cdots+(x_n-y_n)\vec b_n=\vec{0}\]
Базисные векторы независимы, поэтому все коэффициенты нулевые:
\[x_1-y_1=\cdots=x_n-y_n=0\]
Следовательно, \(x_i=y_i\) для каждого \(i\).
Коэффициенты единственного разложения
\[\vec v=x_1\vec b_1+\cdots+x_n\vec b_n\]
называются координатами вектора \(\vec v\) в базисе \(\mathcal B\). Координатный столбец обозначается
\[\left[\vec v\right]_{\mathcal B}
=
\begin{pmatrix}
x_1\\
\vdots\\
x_n
\end{pmatrix}\]
Слово «единственный» относится только к фиксированному упорядоченному базису. Если изменить базис или переставить его векторы, координатный столбец изменится.