Смена координат вектора
Пусть \(\vec v\in V\) имеет координатные столбцы
\[\vec x=\left[\vec v\right]_{\mathcal B},
\qquad
\vec y=\left[\vec v\right]_{\mathcal C}\]
Тогда
\[\begin{aligned}
\vec v
&=(\vec b_1,\ldots,\vec b_n)\vec x=\\
&=(\vec c_1,\ldots,\vec c_n)\vec y=\\
&=(\vec b_1,\ldots,\vec b_n)
P_{\mathcal B\leftarrow\mathcal C}\vec y
\end{aligned}\]
Координаты в фиксированном базисе \(\mathcal B\) единственны, поэтому
\[\boxed{\left[\vec v\right]_{\mathcal B}
=P_{\mathcal B\leftarrow\mathcal C}
\left[\vec v\right]_{\mathcal C}}\]
Для обратного преобразования используется обратная матрица:
\[\boxed{
\left[\vec v\right]_{\mathcal C}
=P_{\mathcal C\leftarrow\mathcal B}
\left[\vec v\right]_{\mathcal B}
}\]
Направление удобно читать как схему движения координат:
\[\left[\vec v\right]_{\mathcal C}
\xrightarrow{\;P_{\mathcal B\leftarrow\mathcal C}\;}
\left[\vec v\right]_{\mathcal B},
\qquad
\left[\vec v\right]_{\mathcal B}
\xrightarrow{\;P_{\mathcal C\leftarrow\mathcal B}
=P_{\mathcal B\leftarrow\mathcal C}^{-1}\;}
\left[\vec v\right]_{\mathcal C}\]
Что известно | Что требуется | Какую матрицу умножить |
|---|
\(\left[\vec v\right]_{\mathcal C}\) | \(\left[\vec v\right]_{\mathcal B}\) | \(P_{\mathcal B\leftarrow\mathcal C}\) |
\(\left[\vec v\right]_{\mathcal B}\) | \(\left[\vec v\right]_{\mathcal C}\) | \(P_{\mathcal C\leftarrow\mathcal B}=P_{\mathcal B\leftarrow\mathcal C}^{-1}\) |
Базисы в стандартных координатах | \(P_{\mathcal B\leftarrow\mathcal C}\) | \(B^{-1}C\) |
