18 Проверьте себя

Проверьте себя

Сначала выполните задания самостоятельно. Здесь проверяются не только определения, но и выбор способа решения, направление перехода и обязательная проверка результата.

1. Назовите два условия базиса. Объясните, почему порядок базисных векторов не влияет на их линейную оболочку, но влияет на координатный столбец.

2. Определите, является ли система

   \[((1,0,1),(0,1,1),(1,1,1))\]

   базисом \(\mathbb{R}^3\). Укажите используемый критерий.

3. В \(\mathbb{R}^4\) даны три линейно независимых вектора. Могут ли они уже быть базисом \(\mathbb{R}^4\)? Сколько векторов нужно добавить, чтобы получить базис?

4. В пространстве \(\mathcal{P}_2\) дан базис

   \[\mathcal B=(1,x-1,(x-1)^2)\]

   Найдите \(\left[p\right]_{\mathcal B}\) для \(p(x)=1+4x+x^2\) и проверьте разложение.

5. В ортогональном базисе \(\mathcal B=((1,1),(1,-1))\) найдите координаты вектора \(\vec v=(6,2)\). Почему здесь не нужно решать систему методом Гаусса?

6. Постройте ФСР системы

   \[\begin{cases} x_1+x_2+x_3=0,\\ x_2-x_3=0 \end{cases}\]

   Назовите главные и свободные переменные и проверьте базисное решение подстановкой.

7. Пусть

   \[P_{\mathcal B\leftarrow\mathcal C} =\begin{pmatrix}1&2\\0&1\end{pmatrix}, \qquad \left[\vec v\right]_{\mathcal C} =\begin{pmatrix}2\\-1\end{pmatrix}\]

   Найдите \(\left[\vec v\right]_{\mathcal B}\) и выполните обратную проверку.

8. Ученик записал

   \[\left[\vec v\right]_{\mathcal B} =P_{\mathcal B\leftarrow\mathcal C}^{-1} \left[\vec v\right]_{\mathcal C}\]

   Объясните ошибку и запишите правильную формулу.

9. В старом репере точка имеет координаты \(\vec x=(4,1)^{\mathsf T}\). Новый репер задан

   \[\vec a=\begin{pmatrix}1\\-2\end{pmatrix}, \qquad P=\begin{pmatrix}1&1\\1&-1\end{pmatrix}\]

   Найдите новые координаты \(\vec x'\) и проверьте их по формуле \(\vec x=\vec a+P\vec x'\).

Краткие разборы к разделу «Проверьте себя».

1. Базис должен быть линейно независимым и порождать всё пространство. Перестановка векторов не меняет множество их линейных комбинаций, но переставляет коэффициенты единственного разложения, поэтому меняет координатный столбец.

2. Составим матрицу столбцов:

   \[B=\begin{pmatrix}1&0&1\\0&1&1\\1&1&1\end{pmatrix}\]

   Её определитель равен \(-1\ne0\). Значит, \(B\) обратима, а её столбцы образуют базис \(\mathbb{R}^3\).

3. Базис \(\mathbb{R}^4\) содержит четыре вектора, поэтому три независимых вектора ещё не могут порождать всё пространство. По теореме о дополнении независимой системы до базиса к ним достаточно добавить один подходящий вектор.

4. Положим \(t=x-1\), тогда \(x=t+1\). Получаем

   \[\begin{aligned} p(x)&=1+4(t+1)+(t+1)^2=\\ &=6+6t+t^2 \end{aligned}\]

   Поэтому

   \[\left[p\right]_{\mathcal B}=\begin{pmatrix}6\\6\\1\end{pmatrix}\]

   Раскрытие \(6+6(x-1)+(x-1)^2\) возвращает \(1+4x+x^2\).

5. Поскольку базис ортогонален,

   \[c_1=\frac{(6,2)\cdot(1,1)}{2}=4, \qquad c_2=\frac{(6,2)\cdot(1,-1)}{2}=2\]

   Следовательно, \(\left[\vec v\right]_{\mathcal B}=(4,2)^{\mathsf T}\). Скалярное умножение на каждый базисный вектор сразу выделяет соответствующий коэффициент, поэтому система не нужна.

6. Матрица системы уже имеет ступенчатый вид:

   \[\begin{pmatrix}1&1&1\\0&1&-1\end{pmatrix} \xrightarrow{R_1\leftarrow R_1-R_2} \begin{pmatrix}1&0&2\\0&1&-1\end{pmatrix}\]

   Главные переменные — \(x_1,x_2\), свободная — \(x_3=t\). Тогда \(x_1=-2t\), \(x_2=t\), поэтому

   \[\mathcal F=((-2,1,1))\]

   Подстановка даёт \(-2+1+1=0\) и \(1-1=0\).

7. Прямой переход:

   \[\left[\vec v\right]_{\mathcal B} =\begin{pmatrix}1&2\\0&1\end{pmatrix} \begin{pmatrix}2\\-1\end{pmatrix} =\begin{pmatrix}0\\-1\end{pmatrix}\]

   Поскольку

   \[P_{\mathcal C\leftarrow\mathcal B} =\begin{pmatrix}1&-2\\0&1\end{pmatrix},\]

   обратное умножение возвращает \((2,-1)^{\mathsf T}\).

8. Индекс \(\mathcal B\leftarrow\mathcal C\) означает, что матрица принимает координаты в \(\mathcal C\) и выдаёт координаты в \(\mathcal B\). Поэтому

   \[\left[\vec v\right]_{\mathcal B} =P_{\mathcal B\leftarrow\mathcal C} \left[\vec v\right]_{\mathcal C}\]

   Обратная матрица нужна для перехода из \(\mathcal B\) в \(\mathcal C\).

9. Используем

   \[\vec x'=P^{-1}(\vec x-\vec a), \qquad P^{-1}=\frac12\begin{pmatrix}1&1\\1&-1\end{pmatrix}\]

   Тогда

   \[\vec x' =\frac12\begin{pmatrix}1&1\\1&-1\end{pmatrix} \begin{pmatrix}3\\3\end{pmatrix} =\begin{pmatrix}3\\0\end{pmatrix}\]

   Проверка:

   \[\begin{pmatrix}1\\-2\end{pmatrix} +\begin{pmatrix}1&1\\1&-1\end{pmatrix} \begin{pmatrix}3\\0\end{pmatrix} =\begin{pmatrix}4\\1\end{pmatrix}\]