15 Аффинный репер и координаты точки

Аффинный репер и координаты точки

Чтобы одновременно менять начало и направления измерения, нужно объединить их в один объект.

Интуитивно аффинное пространство — это пространство точек без заранее выделенного нуля. Разность двух точек определяет вектор, а прибавление вектора к точке переносит её в новую точку. Выбор начала отсчёта временно превращает такие отношения в привычные координатные вычисления.

Пусть \(\mathcal A\) — аффинное пространство с пространством направляющих векторов \(V\). Аффинным репером называется упорядоченная система

\[\mathcal R=(O;\vec b_1,\ldots,\vec b_n)\]

где \(O\) — выбранная точка начала отсчёта, а \((\vec b_1,\ldots,\vec b_n)\) — базис \(V\).

Точка \(X\) имеет в репере \(\mathcal R=(O;\mathcal B)\) аффинные координаты \(\vec x\), если

\[\overrightarrow{OX} =x_1\vec b_1+\cdots+x_n\vec b_n\]

То есть аффинные координаты точки — это обычные координаты вектора, проведённого из выбранного начала к этой точке.

Важно различать допустимые операции:

  • разность двух точек \(\overrightarrow{XY}\) является вектором;

  • к точке можно прибавить вектор и получить новую точку;

  • складывать две точки как свободные векторы без выбранного начала нельзя.

Пусть старый репер равен \(\mathcal R=(O;\mathcal B)\), а новый

\[\mathcal R'=(O';\mathcal C)\]

Обозначим координаты точки \(X\) через

\[\vec x=\left[X\right]_{\mathcal R}, \qquad \vec x'=\left[X\right]_{\mathcal R'}\]

Пусть

\[\vec a=\left[\overrightarrow{OO'}\right]_{\mathcal B}, \qquad P=P_{\mathcal B\leftarrow\mathcal C}\]

Из разложения

\[\overrightarrow{OX} =\overrightarrow{OO'}+\overrightarrow{O'X}\]

получаем общую формулу:

\[\boxed{ \begin{aligned} \vec x&=\vec a+P\vec x',\\ \vec x'&=P^{-1}(\vec x-\vec a) \end{aligned} }\]

В развёрнутых обозначениях первая строка означает

\[\boxed{ \left[X\right]_{O,\mathcal B} =\left[\overrightarrow{OO'}\right]_{\mathcal B} +P_{\mathcal B\leftarrow\mathcal C} \left[X\right]_{O',\mathcal C} }\]

Обратный переход выполняется в обратном порядке: сначала вычитается перенос начала, затем применяется \(P_{\mathcal B\leftarrow\mathcal C}^{-1}\).

На рисунке одна и та же точка \(X\) рассматривается относительно двух начал \(O\) и \(O'\). Серые оси задают старый базис, сплошные стрелки из \(O'\) изображают новый базис \(\vec c_1,\vec c_2\), а вектор \(\vec a=\overrightarrow{OO'}\) отвечает за перенос начала. Светлые пунктирные стрелки достраивают параллелограмм с диагональю \(\overrightarrow{O'X}=\vec c_1+\vec c_2\).

LaTeX
Одна точка \(X\) в двух реперах: старое начало \(O\), новое начало \(O'\), вектор переноса \(\vec a=\overrightarrow{OO'}\) и новый базис \((\vec c_1,\vec c_2)\)

Три важных частных случая общей формулы:

Что меняется

Условие

Формула

Только базис

\(\vec a=\vec{0}\)

\(\vec x=P\vec x'\)

Только начало

\(P=I\)

\(\vec x=\vec a+\vec x'\)

Начало и базис

Общий случай

\(\vec x=\vec a+P\vec x'\)

Для вектора перемещения между двумя точками добавочный столбец исчезает. Если \(X\) и \(Y\) имеют координаты \(\vec x_X,\vec x_Y\) в старом репере и \(\vec x'_X,\vec x'_Y\) в новом, то

\[\vec x_Y-\vec x_X =P(\vec x'_Y-\vec x'_X)\]

Именно поэтому координаты свободного вектора зависят от базиса, но не от начала отсчёта.