20 Итог

Базис

Упорядоченная независимая система, порождающая всё пространство

Координаты

Единственные коэффициенты разложения по фиксированному базису

Размерность

Число векторов в любом базисе конечномерного пространства

Ортогональный базис

Разные базисные векторы имеют нулевые скалярные произведения

Ортонормированный базис

Ортогональный базис из единичных векторов; \(c_i=\left(\vec v,\vec b_i\right)\)

Дополнение до базиса

Добавляются только векторы вне текущей оболочки

ФСР

Базис пространства \(\ker A\); число векторов равно числу свободных переменных

Матрица перехода

Столбцы \(P_{\mathcal B\leftarrow\mathcal C}\) равны \(\left[\vec c_j\right]_{\mathcal B}\)

Смена координат вектора

\(\left[\vec v\right]_{\mathcal B}=P_{\mathcal B\leftarrow\mathcal C}\left[\vec v\right]_{\mathcal C}\)

Репер

Точка начала вместе с упорядоченным базисом направлений

Аффинная смена координат

\(\vec x=\vec a+P\vec x'\), где \(\vec a\) отвечает за перенос начала