1 Содержание

Содержание

• Зачем пространству система измерения

• Базис: независимость и полнота

• Почему координаты единственны

• Стандартные базисы и примеры

• Как находить координаты вектора

• Размерность пространства

• Как проверить, что система является базисом

• Ортогональные и ортонормированные базисы

• Как дополнить систему до базиса

• Фундаментальная система решений

• Матрица перехода между базисами

• Смена координат вектора

• Смена начала отсчёта

• Аффинный репер и координаты точки

• Как выбрать способ решения

• Типичные ошибки

• Проверьте себя

• Решения самостоятельных задач

• Итог

Статья непосредственно продолжает статью 6. Предполагается знакомство с линейными комбинациями, оболочками, подпространствами, линейной зависимостью, однородными системами и методом Гаусса. Общие определения и теоремы формулируются для пространств над полем \(F\). В численных, ортогональных и аффинных примерах используется поле вещественных чисел \(F=\mathbb{R}\). Основной акцент сделан на конечномерных пространствах, но мы отдельно покажем, почему не каждое пространство имеет конечный базис. Обозначение \(\ker A\), построение ФСР и роль свободных переменных кратко напомним перед тем, как связать их с базисом и размерностью.

В примерах решения разобраны полностью. Задачи предназначены для самостоятельной работы; подробные решения собраны в конце. Вынесенные формулы сопровождаются проверками, чтобы направление перехода не приходилось угадывать.