Стереометрия: В правильной треугольной пирамиде SABC сторона... —...

Условие, ответ и разбор задачи

Стереометрическая задачаСтатГрад 13.12.2023

В правильной треугольной пирамиде

SABC

сторона основания

AB

равна

10

, а боковое ребро

SA

равно

7

. На рёбрах

AB

SC

отмечены точки

L

N

соответственно, причём

AL:LB=SN:NC=1:4

. Плоскость

\alpha

содержит прямую

LN

и параллельна прямой

BC

.

а) Докажите, что плоскость

\alpha

параллельна прямой

SA

.
б) Найдите угол между плоскостями

\alpha

SBC

Решение

а)
Проведём через точку

N

прямую

MN\parallel BC

, где

M\in SB

. Так как

N\in\alpha

\alpha\parallel BC

, то

MN

лежит в плоскости

\alpha

Рисунок 0 к решению задачи №15: Пирамиды

\triangle SBC

имеем

MN\parallel BC

, поэтому по теореме Фалеса:

\frac{SM}{MB}=\frac{SN}{NC}=\frac{1}{4}.

Тогда в

\triangle ABS

, так как

\dfrac{AL}{LB} = \dfrac{1}{4}

\frac{SM}{MB}=\frac{AL}{LB}.

Следовательно, по обратной теореме Фалеса:

LM\parallel AS.

Так как

L\in\alpha

M\in\alpha

, то

LM

лежит в плоскости

\alpha

. Значит, плоскость

\alpha

содержит прямую

LM

, параллельную прямой

SA

. Значит,

\alpha\parallel SA.

Что и требовалось доказать.

б) Найдём угол между плоскостями

\alpha

SBC

.

Достроим сечение плоскостью

\alpha

. Через точку

L

проведём прямую

LK\parallel BC

, где

K\in AC

.
Тогда четырёхугольник

LKMN

— сечение призмы плоскостью

\alpha

Рисунок 1 к решению задачи №15: Пирамиды

Пусть

D

— середина

BC

. Тогда в правильном

\triangle ABC

отрезок

AD

является высотой, поэтому

AD\perp BC

. В равнобедренном

\triangle SBC

отрезок

SD

тоже является высотой, значит,

SD\perp BC

.

Так как прямые

AD

SD

лежат в плоскости

(ASD)

и пересекаются, то

BC\perp(ASD)

. Знаем, что

MN\parallel BC

, поэтому

MN\perp(ASD)

.

Обозначим:

P=LK\cap AD, \qquad T=MN\cap SD.

Тогда

TD=(SBC)\cap(ASD), \qquad PT=\alpha\cap(ASD).

Следовательно, угол между плоскостями

\alpha

SBC

равен углу между прямыми

PT

TD

, то есть углу

\angle PTD

.
Так как

\alpha\parallel SA

, то

PT\parallel SA

. Поэтому

\angle PTD=\angle ASD.

Значит, дальше достаточно рассмотреть

\triangle ASD

.

Так как

\triangle ABC

правильный со стороной

10

, то его высота равна

AD=\frac{10\sqrt3}{2}=5\sqrt3.

Так как

D

— середина

BC

, то

DC=5

. В прямоугольном

\triangle SDC

SD=\sqrt{SC^2-DC^2}=\sqrt{7^2-5^2}=2\sqrt6.

По теореме косинусов для

\triangle ASD

AD^2=AS^2+SD^2-2\cdot AS\cdot SD\cdot \cos\angle ASD,\\75=49+24-2\cdot7\cdot2\sqrt6\cdot\cos\angle ASD,\\75=73-28\sqrt6\cos\angle ASD,\\28\sqrt6\cos\angle ASD=-2,\\\cos\angle ASD=-\frac{1}{14\sqrt6}.

Получили отрицательный косинус, значит, угол

\angle ASD

тупой.

Но угол между плоскостями по определению берут острым, поэтому нам нужен угол

\varphi

, смежный с

\angle ASD

. У смежных углов косинусы отличаются знаком, значит,

\cos\varphi=\frac{1}{14\sqrt6}.

Тогда

\varphi=\arccos\frac{1}{14\sqrt6}.

Ответ:

\arccos\dfrac{1}{14\sqrt6}

Стереометрия: В правильной треугольной пирамиде SABC сторона... —...

Похожие задачи