Стереометрия: Дана четырёхугольная пирамида SABCD с... — задача

Условие, ответ и разбор задачи

Стереометрическая задачаЕГЭ 2024 (резерв основы)

Дана четырёхугольная пирамида

SABCD

с прямоугольником

ABCD

в основании,

SA = 15

SB = 17

AB = 8

BC = \sqrt{15}

SD = 4\sqrt{15}

.
а) Докажите, что

SA

— высота пирамиды.
б) Найдите расстояние от точки

A

до плоскости

SBC

Решение

а) Для

\triangle SAD

выполняется обратная теорема Пифагора:

AD^2 + AS^2 = SD^2, \quad \left(\sqrt{15}\right)^2 + 15^2 = \left(4\sqrt{15}\right)^2.

Следовательно,

SA \perp AD

.
Для

\triangle SAB

выполняется обратная теорема Пифагора:

AB^2 + AS^2 = SB^2, \quad 8^2 + 15^2 = 17^2.

Следовательно,

SA \perp AB

.
Получили, что

SA \perp AD

SA \perp AB

, значит, по признаку перпендикулярности прямой и плоскости

SA \perp (ABD)

, то есть

SA

— высота пирамиды, ч.т.д.

б) В прямоугольном треугольнике

SAB

проведём высоту

AH

, тогда

AH \perp SB

.
Так как

SA \perp BC

AB \perp BC

, то

BC \perp (SAB)

по признаку перпендикулярности прямой и плоскости. Следовательно,

AH \perp BC

, где

AH \subset (SAB)

.
Получили, что

AH \perp SB

AH \perp BC

, значит,

AH \perp (SBC)

по признаку перпендикулярности прямой и плоскости. Откуда следует, что

\rho(A; (SBC))=AH

.
По свойству высоты, проведённой из вершины прямого угла, в треугольнике

SAB

AH = \dfrac{SA \cdot AB}{SB} = \dfrac{15 \cdot 8}{17} = \dfrac{120}{17}.

Ответ:

\dfrac{120}{17}

.

Решение методом координат:

б) Введём прямоугольную систему координат с началом в точке

A

, ось

Ox

направим вдоль ребра

AD

, ось

Oy

направим вдоль ребра

AB

, ось

Oz

направим вдоль ребра

AS

.

В этой системе отсчёта верны координаты

A(0;0;0); \quad B(0;8;0); \quad C(\sqrt{15};8;0); \quad S(0;0;15).

Составим уравнение плоскости

(SBC)

в виде

Ax+By+Cz+D=0

\begin{cases}8B+D=0,\\15C+D=0,\\\sqrt{15}A+8B+D=0;\\\end{cases}\quad\begin{cases}B=-\dfrac{D}{8},\\[2ex]C=-\dfrac{D}{15},\\[2ex]A=0.\\\end{cases}

Запишем уравнение плоскости

(SBC)

и преобразуем его:

-\dfrac{D}{8}y-\dfrac{D}{15}z+D=0; \quad |:-\dfrac{D}{120}

15y+8z-120=0.

По формуле расстояния от точки до плоскости получим

\rho(A;(SBC))=\dfrac{|0\cdot0+15\cdot 0+8\cdot0-120|}{\sqrt{0^2+15^2+8^2}}=\dfrac{120}{17}.

Похожие задачи