На ребре AA1 прямоугольного параллелепипеда ABCDA1B1C1D1 взята точка E так, что A1E:EA=5:2. Точка T —-- середина ребра B1C1.
а) Докажите, что сечение параллелепипеда плоскостью ETD1 является трапецией.
б) Найдите угол между плоскостью ETD1 и плоскостью A1B1C1, если известно, что AB=32,AD=4,AA1=14.
Решение
а) Пусть D1T пересекает A1B1 в точке W, а EW пересекает BB1 в точке K. Тогда ED1TK --- искомое сечение.
△D1C1T=△B1TW⇒D1C1=B1W=A1B1. B1K∥A1E и B1 --- середина A1W, следовательно, B1K --- средняя линия △A1WE. Тогда B1K=2,5x=5,BK=4,5x=9.
Плоскость ED1TK пересекает параллельные плоскости BB1C1C и A1D1D по параллельным прямым TK и ED1. Также EK пересекает D1T в точке W, следовательно, ED1TK - трапеция. Что и требовалось доказать.
б) Пусть H --- основание перпендикуляра, опущенного из вершины A1 на прямую D1T пересечения плоскостей ETD1 и AA1B1. Также A1D1 --- перпендикуляр к плоскости AA1B1, отрезок A1H --- проекция наклонной D1H на эту плоскость. Тогда по теореме о трёх перпендикулярах EH⊥D1T, значит, A1HE --- линейный угол двугранного угла между плоскостями ETD1 и AA1B1. По теореме Пифагора в △A1DW: D1W=A1D12+A1W2=42+(62)2=222. Тогда
A1H=D1WA1D1⋅A1W=2224⋅62=1112. Из прямоугольного треугольника EA1H: tg∠A1HE=A1HA1E=111210=6511. Таким образом
∠A1HE=arctg6511.
