Параллелепипеды — задача ЕГЭ по профильной математике

Условие, ответ и разбор задачи

СтереометрияСтатГрад 01.10.2025

На ребре

AA_1

прямоугольного параллелепипеда

ABCDA_1B_1C_1D_1

взята точка

E

так, что

A_1E : EA = 5 : 2

. Точка

T

— середина ребра

B_1C_1

.

а) Докажите, что сечение параллелепипеда плоскостью

ETD_1

является трапецией.
б) Найдите угол между плоскостью

ETD_1

и плоскостью

A_1B_1C_1

, если известно, что

AB = 3\sqrt{2}

AD = 4

AA_1 = 14

Решение

а) Пусть

D_1T

пересекает

A_1B_1

в точке

W

, а

EW

пересекает

BB_1

в точке

K

. Тогда

ED_1TK

— искомое сечение.

\triangle D_1C_1T = \triangle B_1TW \Rightarrow D_1C_1=B_1W=A_1B_1

B_1K \parallel A_1E

B_1

— середина

A_1W

, следовательно,

B_1K

— средняя линия

\triangle A_1WE

. Тогда

B_1K = 2,5x =5, \ BK = 4,5x = 9

.

Плоскость

ED_1TK

пересекает параллельные плоскости

BB_1C_1C

A_1D_1D

по параллельным прямым

TK

ED_1

. Также

EK

пересекает

D_1T

в точке

W

, следовательно,

ED_1TK

- трапеция. Что и требовалось доказать.

б) Пусть

H

— основание перпендикуляра, опущенного из вершины

A_1

на прямую

D_1T

пересечения плоскостей

ETD_1

AA_1B_1

. Также

A_1D_1

— перпендикуляр к плоскости

AA_1B_1

, отрезок

A_1H

— проекция наклонной

D_1H

на эту плоскость. Тогда по теореме о трёх перпендикулярах

EH \perp D_1T

, значит,

A_1HE

— линейный угол двугранного угла между плоскостями

ETD_1

AA_1B_1

.
По теореме Пифагора в

\triangle A_1DW

D_1W = \sqrt{A_1D_1^2 + A_1W^2} = \sqrt{4^2+(6\sqrt{2})^2}= 2\sqrt{22}.

Тогда

A_1H = \dfrac{A_1D_1 \cdot A_1W}{D_1W} = \dfrac{4 \cdot 6\sqrt{2}}{2\sqrt{22}} = \dfrac{12}{\sqrt{11}}.

Из прямоугольного треугольника

EA_1H

\tg \angle A_1HE= \dfrac{A_1E}{A_1H} = \dfrac{10}{\frac{12}{\sqrt{11}}} = \dfrac{5\sqrt{11}}{6}.

Таким образом

\angle A_1HE = \arctg \dfrac{5\sqrt{11}}{6}.

Ответ: б)

\arctg \dfrac{5\sqrt{11}}{6}

Параллелепипеды — задача ЕГЭ по профильной математике

Похожие задачи