Дан куб ABCDA1B1C1D1. Точки M и K -- середины его ребер AB и BC соответственно. Плоскость α проходит через точку B параллельно прямым A1M и B1K.
a) Докажите, что плоскость α проходит через точку D.
б) Найдите площадь сечения куба плоскостью α, если его ребра равны 2.
Решение
а) Пусть точка P -- середина ребра A1B1, тогда A1P=MB, при этом A1P∥MB, значит, A1MBP -- параллелограмм и PB∥A1M. Пусть точка T -- середина ребра A1D1. △A1B1T=△DCK по двум катетам (CK=A1T,A1B1=CD), значит, DK=B1T. Плоскость (DKB1) пересекает параллельные плоскости (ABC) и (A1B1C1) по параллельным прямым, то есть B1T∥DK. B1T∥DK,B1T=DK, следовательно, B1TDK -- параллелограмм и TD∥B1K. Получаем, что плоскость (BDP) параллельна прямым B1K и A1M, а также проходит через точку B, значит, это и есть искомая плоскость α, значит, D∈α, ч.т.д.
б) △BB1P=△TD1D по двум катетам (BB1=DD1,B1P=TD1), тогда BP=TD. PT -- средняя линия △A1B1D1, значит, PT=21B1D1=21BD. Плоскость α пересекает параллельные плоскости (ABC) и (A1B1C1) по параллельным прямым, то есть PT∥BD. Следовательно, BPTD -- равнобедренная трапеция.
Из △ABD по теореме Пифагора:
BD2=AB2+AD2,BD=AB2+AD2=22+22=22. Тогда PT=21BD=2. Из △TDD1 по теореме Пифагора:
DT2=D1T2+DD12,DT=D1T2+DD12=12+22=5. Пусть PP′ и TT′ -- высоты трапеции, тогда PT=P′T′=2,BP′=TD′=22. Из △BP′P по теореме Пифагора:
BP2=BP′2+PP′2,PP′=BP2−BP′2=(5)2−(22)2=23.
Тогда площадь сечения равна:
SBPTD=2PT+AB⋅PP′=22+22⋅23=4,5. Ответ: 4,5.
Координатный способ решения:
a) Введём прямоугольную систему координат с началом в точке B, ось Ox направим вдоль ребра BA, ось Oy направим вдоль ребра BC, ось Oz направим вдоль ребра BB1.
Пусть AB=2a, тогда в этой системе отсчёта верны координаты
A1(2a;0;2a);M(a;0;0);A1M(−a;0;−2a); B1(0;0;2a);K(0;a;0);B1K(0;a;−2a). D(2a;2a;0);B(0;0;0). Если плоскость параллельна прямой, то нормаль к ней перпендикулярна направляющему вектору этой прямой, то есть их скалярное произведение должно равняться нулю.
Составим уравнение плоскости α в виде Ax+By+Cz+D=0: ⎩⎨⎧D=0,−aA−2aC=0,aB−2aC=0;⎩⎨⎧D=0,A=−2C,B=2C. Запишем уравнение плоскости α и преобразуем его:
−2Cx+2Cy+Cz=0;∣:(−C) 2x−2y−z=0. Проверим принадлежность точки D плоскости α: 2⋅2a−2⋅2a−1⋅0=0⇒D∈α,ч.т.д.
