Призмы — задача ЕГЭ по профильной математике

Условие, ответ и разбор задачи

СтереометрияЕГЭ 2025 (пересдача)

Дан куб

A B C D A_{1} B_{1} C_{1} D_{1}

. Точки

M

K

— середины его ребер

A B

B C

соответственно. Плоскость

\alpha

проходит через точку

B

параллельно прямым

A_{1} M

B_{1} K

.

a) Докажите, что плоскость

\alpha

проходит через точку

D

.

б) Найдите площадь сечения куба плоскостью

\alpha

, если его ребра равны 2.

Решение

а) Пусть точка

P

— середина ребра

A_1B_1

, тогда

A_1P = MB

, при этом

A_1P \parallel MB

, значит,

A_1MBP

— параллелограмм и

PB \parallel A_1M

.
Пусть точка

T

— середина ребра

A_1D_1

\triangle A_1B_1T = \triangle DCK

по двум катетам (

CK = A_1T

A_1B_1 = CD

), значит,

DK = B_1T

.
Плоскость

(DKB_1)

пересекает параллельные плоскости

(ABC)

(A_1B_1C_1)

по параллельным прямым, то есть

B_1T \parallel DK

B_1T \parallel DK

B_1T = DK

, следовательно,

B_1TDK

— параллелограмм и

TD \parallel B_1K

.
Получаем, что плоскость

(BDP)

параллельна прямым

B_1K

A_1M

, а также проходит через точку

B

, значит, это и есть искомая плоскость

\alpha

, значит,

D \in \alpha

, ч.т.д.

$Изображение 1$

б)

\triangle BB_1P = \triangle TD_1D

по двум катетам (

BB_1 = DD_1

B_1P = TD_1

), тогда

BP = TD

PT

— средняя линия

\triangle A_1B_1D_1

, значит,

PT = \dfrac{1}{2} B_1D_1 = \dfrac{1}{2} BD

.
Плоскость

\alpha

пересекает параллельные плоскости

(ABC)

(A_1B_1C_1)

по параллельным прямым, то есть

PT \parallel BD

. Следовательно,

BPTD

— равнобедренная трапеция.
Из

\triangle ABD

по теореме Пифагора:

BD^2 = AB^2 + AD^2, \quad BD = \sqrt{AB^2 + AD^2} = \sqrt{2^2 + 2^2} = 2\sqrt{2}.

Тогда

PT = \dfrac{1}{2} BD = \sqrt{2}

.
Из

\triangle TDD_1

по теореме Пифагора:

DT^2 = D_1T^2 + DD_1^2, \quad DT = \sqrt{D_1T^2 + DD_1^2} = \sqrt{1^2 + 2^2} = \sqrt{5}.

Пусть

PP'

TT'

— высоты трапеции, тогда

PT = P'T' = \sqrt{2}

BP' = TD' = \dfrac{\sqrt{2}}{2}

.
Из

\triangle BP'P

по теореме Пифагора:

BP^2 = BP'^2 + PP'^2, \quad PP' = \sqrt{BP^2 - BP'^2} = \sqrt{\left(\sqrt{5}\right)^2 - \left(\dfrac{\sqrt{2}}{2}\right)^2} = \dfrac{3}{\sqrt{2}}.

$Изображение 2$

Тогда площадь сечения равна:

S_{BPTD} = \dfrac{PT + AB}{2} \cdot PP' = \dfrac{\sqrt{2} + 2\sqrt{2}}{2} \cdot \dfrac{3}{\sqrt{2}} = 4,5.

Ответ: 4,5.

Координатный способ решения:
a) Введём прямоугольную систему координат с началом в точке

B

, ось

Ox

направим вдоль ребра

BA

, ось

Oy

направим вдоль ребра

BC

, ось

Oz

направим вдоль ребра

BB_1

$Изображение 3$

Пусть

AB = 2a

, тогда в этой системе отсчёта верны координаты

A_1(2a;0;2a); \quad M(a;0;0); \quad \overrightarrow{A_1M}(-a;0;-2a);

B_1(0;0;2a); \quad K(0;a;0); \quad \overrightarrow{B_1K}(0;a;-2a).

D(2a;2a;0); \quad B(0;0;0).

Если плоскость параллельна прямой, то нормаль к ней перпендикулярна направляющему вектору этой прямой, то есть их скалярное произведение должно равняться нулю.
Составим уравнение плоскости

\alpha

в виде

Ax+By+Cz+D=0

\begin{cases}D=0,\\-aA-2aC=0,\\aB-2aC=0;\\\end{cases}\quad\begin{cases}D = 0,\\A = -2C,\\B = 2C.\\\end{cases}

Запишем уравнение плоскости

\alpha

и преобразуем его:

-2Cx + 2Cy + Cz=0; \quad |: (-C)

2x - 2y - z=0.

Проверим принадлежность точки

D

плоскости

\alpha

2\cdot 2a - 2\cdot 2a -1 \cdot 0 = 0 \ \Rightarrow \ D \in \alpha, \ \text{ч.т.д.}

Призмы — задача ЕГЭ по профильной математике

Похожие задачи