Стереометрия: Точка D не лежит в плоскости равностороннего... — задача

Условие, ответ и разбор задачи

Стереометрическая задачаЕГЭ 2022 (досрок)

Точка

D

не лежит в плоскости равностороннего треугольника

ABC

. При этом

\cos\angle DAB=\cos\angle DAC=0{,}3

.

а) Докажите, что прямые

AD

BC

перпендикулярны.

б) Найдите расстояние между прямыми

AD

BC

, если известно, что

AB=6

Решение

а) Обозначим

\alpha=\angle DAB,\qquad \beta=\angle DAC.

По условию

\cos\alpha=\cos\beta=0{,}3.

Так как углы

\alpha

\beta

острые, то

\alpha=\beta.

Опустим из точек

B

C

перпендикуляры

BH_1

CH_2

на прямую

AD

Рисунок 1 к решению задачи №15: Пирамиды

Тогда

\angle AH_1B=\angle AH_2C=90^\circ

.

Рассмотрим прямоугольные

\triangle ABH_1

\triangle ACH_2

. В них

AB=AC,

так как треугольник

ABC

равносторонний, и

\angle BAH_1=\angle CAH_2.

Следовательно, треугольники

ABH_1

ACH_2

равны по гипотенузе и острому углу.

Значит,

AH_1=AH_2\qquad \text{и} \qquadBH_1=CH_2.

Но точки

H_1

H_2

лежат на одной прямой

AD

, тогда

H_1=H_2.

Обозначим эту точку через

H

Рисунок 2 к решению задачи №15: Пирамиды

Тогда

BH\perp AD\qquad \text{и} \qquadCH\perp AD.

Значит, прямая

AD

перпендикулярна двум пересекающимся прямым

BH

CH

, лежащим в плоскости

(BHC)

. Следовательно,

AD\perp (BHC).

Так как прямая

BC

лежит в плоскости

(BHC)

, то

AD\perp BC.

Что и требовалось доказать.

б)По условию треугольник

ABC

равносторонний, и

AB=6

, значит,

AC=BC=6.

Из пункта а) известно, что

BH=CH

AD\perp (BHC).

Пусть

M

— середина стороны

BC

. Тогда

BM=CM=3.

Так как

\triangle BHC

равнобедренный, то медиана

HM

, проведённая к основанию

BC

, является высотой, значит,

HM\perp BC.

Кроме того, так как

AD\perp (BHC)

, а прямая

HM

лежит в плоскости

(BHC)

и проходит через точку

H

, то

HM\perp AD.

Рисунок 3 к решению задачи №15: Пирамиды

Следовательно,

HM

— общий перпендикуляр к прямым

AD

BC

, значит, расстояние между прямыми

AD

BC

равно

HM

.

Рассмотрим прямоугольный

\triangle AHC

. В нём

\cos\angle DAC=\dfrac{AH}{AC}=0{,}3=\dfrac{3}{10}.

Тогда

AH=AC\cdot \cos\angle DAC=6\cdot \dfrac{3}{10}=\dfrac95.

По теореме Пифагора

CH=\sqrt{AC^2-AH^2}=\sqrt{6^2-\left(\dfrac95\right)^2}=\sqrt{36-\dfrac{81}{25}}=\sqrt{\dfrac{819}{25}}=\dfrac{3\sqrt{91}}{5}.

Теперь рассмотрим прямоугольный

\triangle CHM

. В нём

CM=3

, поэтому

HM=\sqrt{CH^2-CM^2}=\sqrt{\left(\dfrac{3\sqrt{91}}{5}\right)^2-3^2}=\sqrt{\dfrac{819}{25}-9}=\sqrt{\dfrac{594}{25}}=\dfrac{3\sqrt{66}}{5}.

Следовательно, расстояние между прямыми

AD

BC

равно

\dfrac{3\sqrt{66}}{5}.

Ответ:

\dfrac{3\sqrt{66}}{5}

Стереометрия: Точка D не лежит в плоскости равностороннего... — задача

Похожие задачи