Стереометрия: Дан тетраэдр ABCD. Точки K, L, M и N лежат на... —...

Условие, ответ и разбор задачи

Стереометрическая задачаЕГЭ 2023 (досрок)

Дан тетраэдр

ABCD

. Точки

K

L

M

N

лежат на ребрах

AC

AD

DB

BC

соответственно, так, что четырехугольник

КLMN

квадрат со стороной

2

AK:KC=2:3

.

a) Докажите, что

BM:MD=2:3

.

б) Найдите расстояние от точки

С

до плоскости

KLMN

, если объем тетраэдра равен

25

Решение

а) По условию

KLMN

— квадрат, тогда

KN \parallel ML

, при этом

KN

лежит в плоскости

ABC

LM

в плоскости

ABD

, следовательно,

KN \parallel ABD

. Заметим, что

AB

— линия пересечения плоскостей

ABC

ABD

, следовательно,

KN \parallel AB \parallel ML

.

Аналогично,

KL \parallel CD \parallel MN

. Таким образом по теореме о пропорциональных отрезках для

KL \parallel CD

\dfrac{AK}{KC}= \dfrac{AL}{LD}=\dfrac{2}{3}.

Аналогично, для

LM \parallel AB

\dfrac{DL}{LA}= \dfrac{DM}{MB}= \dfrac{3}{2}.

Что и требовалось доказать.

Рисунок 1 к решению задачи №15: Пирамиды

б) Проведём

DH \perp AB

. Из пункта а)

KL \perp LM \Rightarrow AB \perp CD

. Получаем, что

AB \perp DH

AB \perp CD

, следовательно,

AB \perp CHD

AB \perp CD

. Заметим, что

V_{ABCD} = V_{ACDH} + V_{BCHD} = \dfrac{1}{3}\cdot S_{CHD} \cdot AH + \dfrac{1}{3}\cdot S_{CHD} \cdot BH = \dfrac{1}{3}S_{CHD}\cdot (AH+BH) = \dfrac{1}{3}S_{CHD} \cdot AB.

Проведём в треугольнике

CHD

высоту

HO

, тогда

S_{CHD} = \dfrac{1}{2}\cdot HO\cdot CD;

V_{ABCD}=\dfrac{1}{3}\cdot \dfrac{1}{2}\cdot HO\cdot CD \cdot AB = \dfrac{1}{6} \cdot HO\cdot CD \cdot AB.

\triangle DLM \sim \triangle DAB

по двум углам:

\angle D

— общий,

\angle DLM = \angle DAB

(как соотвественные), значит

\dfrac{LM}{AB}=\dfrac{DL}{DA}=\dfrac{3}{5} \Rightarrow AB = \dfrac{5}{3}LM=\dfrac{10}{3}.

Аналогично из подобия

\triangle ALK

\triangle ACD

\dfrac{KL}{CD}=\dfrac{AK}{AC}=\dfrac{2}{5} \Rightarrow CD = \dfrac{5}{2}KL = 5.

Таким образом,

V_{ABCD} = \dfrac{1}{6} \cdot HO\cdot CD \cdot AB = \dfrac{1}{6} \cdot HO \cdot 5 \cdot \dfrac{10}{3} = 25;

\dfrac{25}{9}HO = 25;

HO =9.

Заметим, что

AB \perp OH

, так как

OH

лежит в плоскости

DCH

AB\parallel KN

, следовательно,

OH \perp KN

. Кроме того,

OH \perp CD

CD \parallel KL

, следовательно,

OH \perp KL

. Значит,

{OH \perp KLMN}

.

Пусть плоскость

KLMN

пересекает отрезки

DH

CH

в точках

T

W

соответственно.

Рисунок 2 к решению задачи №15: Пирамиды

По теореме о пропорциональных отрезках

LM \parallel AB

KN \parallel AB

получаем:

\dfrac{DT}{TH}=\dfrac{DM}{MB} = \dfrac{3}{2}=\dfrac{OF}{FH}.

Пусть

CQ

— искомое расстояние от точки

C

до плоскости

KLMN

, тогда

Рисунок 3 к решению задачи №15: Пирамиды

Ответ: б)

\dfrac{27}{5}

Стереометрия: Дан тетраэдр ABCD. Точки K, L, M и N лежат на... —...

Похожие задачи