В основании прямой треугольной призмы ABCA1B1C1 лежит равнобедренный прямоугольный треугольник ABC с гипотенузой AB. Через вершины A1,C1 и середину ребра AB проведена плоскость α.
а) Докажите, что сечением призмы плоскостью α будет прямоугольная трапеция.
б) Найдите расстояние от точки C до плоскости α, если высота призмы равна 12, AB=102.
Решение
а) Пусть K -- середина ребра AB. Плоскости (A1B1C1) и (ABC) параллельны как основания призмы, значит, секущая
плоскость (A1C1K) пересекает их по параллельным прямым A1C1 и KL (L∈BC).
A1C1=AC,A1C1∥AC (так как AA1C1C -- прямоугольник), тогда KL∥AC. Значит, KL -- средняя линия △ABC и KL=21AC=21A1C1,LB=LC. Следовательно, A1C1LK -- трапеция (KL∥A1C1 и KL=A1C1). \par \bigskip
AC⊥BC по условию, KL∥AC, значит, KL⊥BC. Кроме того, BB1⊥(ABC), так как призма правильная, значит, BB1⊥KL. По признаку перпендикулярности прямой и плоскости: KL⊥(BB1C1), а следовательно, KL⊥LC1, значит, ∠KLC1=90∘, то есть трапеция A1C1LK -- прямоугольная, ч.т.д.
б) Из п. а доказано, что KL⊥(BB1C1),KL∈(KLC1), следовательно, (KLC1)⊥(BB1C1), а линия их пересечения LC1. Значит, расстояние от C до плоскости сечения (KLC1) равно длине перпендикуляра, опущенного из точки C на LC1.
Рассмотрим △LCC1 -- прямоугольный. Опустим высоту CH на LC1, тогда CH -- искомое расстояние. \par \bigskip
По условию AA1=BB1=CC1=12,AB=102.
В △ABCAC=BC по условию, ∠C=90∘, значит, AC=BC=2AB=10,CL=21CB=5. Из △LCC1 по теореме Пифагора C1L=CC12+CL2=122+52=13. Найдём CH как высоту прямоугольного треугольника:
CH=C1LCC1⋅CL=1312⋅5=1360. Ответ: 1360.
