Призмы — задача ЕГЭ по профильной математике

Условие, ответ и разбор задачи

СтереометрияСтатГрад 22.04.2026

В основании прямой треугольной призмы

ABCA_1B_1C_1

лежит равнобедренный прямоугольный треугольник

ABC

с гипотенузой

AB

. Через вершины

A_1

C_1

и середину ребра

AB

проведена плоскость

\alpha

.

а) Докажите, что сечением призмы плоскостью

\alpha

будет прямоугольная трапеция.

б) Найдите расстояние от точки

C

до плоскости

\alpha

, если высота призмы равна 12,

AB = 10\sqrt{2}

Решение

а) Пусть

K

— середина ребра

AB

. Плоскости

(A_1B_1C_1)

(ABC)

параллельны как основания призмы, значит, секущая
плоскость

(A_1C_1K)

пересекает их по параллельным прямым

A_1C_1

KL

(

L \in BC

A_1C_1=AC

A_1C_1 \parallel AC

(так как

AA_1C_1C

-- прямоугольник), тогда

KL \parallel AC

. Значит,

KL

— средняя линия

\triangle ABC

KL=\dfrac{1}{2}AC=\dfrac{1}{2}A_1C_1

LB=LC

. Следовательно,

A_1C_1LK

— трапеция (

KL\parallel A_1C_1

KL \not = A_1C_1

). \par \bigskip

AC \perp BC

по условию,

KL \parallel AC

, значит,

KL \perp BC

. Кроме того,

BB_1\perp (ABC)

, так как призма правильная, значит,

BB_1\perp KL

. По признаку перпендикулярности прямой и плоскости:

KL \perp (BB_1C_1)

, а следовательно,

KL \perp LC_1

, значит,

\angle KLC_1=90^{\circ}

, то есть трапеция

A_1C_1LK

— прямоугольная, ч.т.д.

б) Из п. а доказано, что

KL \perp (BB_1C_1)

KL \in (KLC_1)

, следовательно,

(KLC_1) \perp (BB_1C_1),

а линия их пересечения

LC_1.

Значит, расстояние от

C

до плоскости сечения

(KLC_1)

равно длине перпендикуляра, опущенного из точки

C

на

LC_1.

Рассмотрим

\triangle LCC_1

— прямоугольный. Опустим высоту

CH

на

LC_1

, тогда

CH

— искомое расстояние.
По условию

AA_1 = BB_1 = CC_1 = 12, \ AB = 10\sqrt{2}

.

В

\triangle ABC

AC = BC

по условию,

\angle C = 90^\circ

,
значит,

AC = BC = \dfrac{AB}{\sqrt{2}} = 10

CL = \dfrac{1}{2} CB = 5

.
Из

\triangle LCC_1

по теореме Пифагора

C_1L = \sqrt{CC_1^2 + CL^2} = \sqrt{12^2 + 5^2} = 13

.
Найдём

CH

как высоту прямоугольного треугольника:

CH = \dfrac{CC_1 \cdot CL}{C_1L} = \dfrac{12 \cdot 5}{13} = \dfrac{60}{13}.

Ответ:

\dfrac{60}{13}

Призмы — задача ЕГЭ по профильной математике

Похожие задачи