Стереометрия: В правильном тетраэдре ABCD все ребра равны... — задача

Условие, ответ и разбор задачи

Стереометрическая задачаЕГЭ 2026 (пересдача)

В правильном тетраэдре

ABCD

все ребра равны

10

. На ребрах

AB

AD

отмечены точки

M

K

соответственно
так, что

AM = AK = 6

.

а) Докажите, что плоскость

(CMK)

делит тетраэдр

ABCD

на два многогранника, объёмы которых относятся как

16 : 9

.

б) Найдите косинус угла между прямой

AC

и плоскостью

(CMK)

Решение

а) По теореме, обратной теореме Фалеса получаем, что так как

\dfrac{AK}{KD} = \dfrac{AM}{MB} = \dfrac{6}{4}

, то

KM \parallel BD

.

Так как

\angle A

— общий и

\dfrac{AK}{AD} = \dfrac{AM}{AB} = \dfrac{6}{10} = \dfrac{3}{5}

, то

\triangle AKM \sim \triangle ADB

, следовательно,

\dfrac{S_{\triangle AKM}}{S_{\triangle ADB}} = k^2 = \dfrac{9}{25}

.
Тетраэдры

CAKM

ABCD

имеют общую высоту из вершины

С

, значит:

\dfrac{V_{CAKM}}{V_{ABCD}} = \dfrac{S_{\triangle AKM}}{S_{\triangle ADB}} = \dfrac{9}{25}.

Тогда получаем, что

V_{CDKMB} = V_{ABCD} - V_{CAKM} = \dfrac{16}{25}V_{ABCD}, \quad \dfrac{V_{CDKMB}}{V_{CAKM}} = \dfrac{16}{9}, \ \text{ч.т.д.}

б) Так как

DK = MB

DC = BC

\angle KDC = \angle MBC = 60^{\circ}

, то

\triangle DKC = \triangle MCB

, откуда получаем, что

CK = CM

.
В треугольнике

MCB

по теореме косинусов:

CM^2 = BC^2 + BM^2 - 2BC \cdot BM \cdot \cos \angle MBC;

CM^2 = 100 + 16 - 2 \cdot 10 \cdot 4 \cdot \dfrac{1}{2} = 76, \quad CM = 2\sqrt{19}.

Треугольник

AKM

равносторонний, так как

AK=AM,~ \angle A=60^\circ

, тогда

KM=6

.

Пусть

CH

— высота, медиана и биссектриса в

\triangle MCK

. Тогда в прямоугольном треугольнике

CKH

по теореме Пифагора:

CK^2 = CH^2 + HK^2, \quad CH = \sqrt{CK^2 - HK^2} = \sqrt{76 - 9} = \sqrt{67}.

Прямая

CH

— проекция прямой

AC

на плоскость

(MCK)

, так как основание перпендикуляра, опущенного из точки

A

на плоскость

(MCK)

, падает на биссектрису угла

MCK

, то есть на

CH

, значит, искомый угол

\angle ACH

AH=AK \cdot \dfrac{\sqrt3}{2}=3\sqrt{3}

— как высота равностороннего треугольника.

Из треугольника

ACH

по теореме косинусов:

AH^2 = AC^2 + HC^2 - 2\cdot AC \cdot HC \cdot \cos \angle ACH;

\cos \angle ACH=\dfrac{AC^2 + HC^2- AH^2}{2\cdot AC \cdot HC}=\dfrac{100 + 67- 27}{2\cdot 10 \cdot \sqrt{67}}=\dfrac{7}{\sqrt{67}} .

Ответ:

\dfrac{7}{\sqrt{67}}

Похожие задачи