Стереометрия: В правильной шестиугольной пирамиде SABCDEF... — задача

Условие, ответ и разбор задачи

Стереометрическая задачаЕГЭ 2026 (Основная волна)

В правильной шестиугольной пирамиде

SABCDEF

точки

M

K

— середины боковых рёбер

SA

SD

соответственно.

а) Докажите, что прямые

BC

MK

лежат в одной плоскости.

б) Найдите высоту пирамиды, если

AB = 6

, а угол между плоскостью

(BMC)

и плоскостью основания пирамиды

SABCDEF

равен

60^{\circ}

Решение

а) Так как точки

M

K

-- середины боковых рёбер

SA

SD

соответственно, то

MK

-- средняя линия

\triangle SAD

, значит,

MK \parallel AD

. При этом

AD \parallel BC

, так как

AD

-- диагональ правильного шестиугольника

ABCDEF

. Следовательно,

MK \parallel BC

и они лежат в одной плоскости, ч.т.д.

б) Пусть

SO

-- высота пирамиды,

SO \perp (ABC)

. Опустим

MH \perp (ABC)

SO

принадлежит плоскости

(ASD)

MH

принадлежит плоскости

(ASD)

SO \parallel MH

MH

-- средняя линия треугольника

ASO

MH = \dfrac{1}{2}SO

. Тогда

BH

-- медиана и высота равностороннего треугольника

ABO

, значит,

BH \perp AD

, а следовательно,

BH \perp BC

, но

BH

-- проекция прямой

MB

на плоскость

(ABC)

, следовательно, по теореме о трёх перпендикулярах

MB \perp BC

. Следовательно, угол между плоскостью

(BMC)

и плоскостью основания равен углу

\angle MBH

.

Из треугольника

MBH

имеем:

\tg \angle MBH = \tg 60^{\circ}= \dfrac{MH}{BH} = \sqrt{3}, \quad MH = \sqrt{3}BH.

Так как

BH

-- высота правильного треугольника

AOB

, то

BH = \dfrac{AB\sqrt{3}}{2} = 3\sqrt{3}, \quad MH = 3\sqrt{3}\cdot \sqrt{3} = 9.

Значит,

SO = 2 MH = 2\cdot 9 = 18

Ответ: 18.

Похожие задачи