Для студентов Для учителей

Призмы — задача ЕГЭ по профильной математике

Условие, ответ и разбор задачи

СтереометрияЕГКР 25.03.2025

Сторона основания правильной треугольной призмы

ABCA_1B_1C_1

равна 12, а её боковое ребро равно 6. Плоскость сечения

\alpha

содержит ребро

BC

и пересекает луч

AA_1

в точке

L

. Угол, образованный плоскостями

\alpha

и

ABC

, равен

60^\circ

.
а) Докажите, что сечение призмы

ABCA_1B_1C_1

плоскостью

\alpha

— трапеция.
б) Найдите площадь сечения призмы

ABCA_1B_1C_1

плоскостью

\alpha

.

Решение

а) Пусть

BL\cap B_1A_1 = K

,

CL \cap C_1A_1 = P

, тогда

BKPC

— искомое сечение.
Плоскость

(BLC)

пересекает параллельные плоскости

(ABC)

и

(A_1B_1C_1)

по параллельным прямым, значит,

KP \parallel BC

.

\triangle BAL = \triangle CAL

по двум катетам (

AC = AB

,

AL

— общая), откуда получаем, что

BL = LC

.
Пусть

M

— середина

BC

, тогда

AM

и

LM

— высоты, медианы и биссектрисы треугольников

ABC

и

LBC

соответственно.

(BLC) \cap (ABC) = BC

,

AM \perp BC

,

LM \perp BC

, тогда

\angle ((ABC); (BLC)) = \angle LMA =60^{\circ}

.

Из

\triangle ABC

получаем:

AM = AC \cdot \sin 60^{\circ} = 12 \cdot \dfrac{\sqrt{3}}{2} = 6\sqrt{3}.

Из

\triangle AML

получаем:

AL = AM \cdot \tg 60^{\circ} = 6\sqrt{3} \cdot \sqrt{3} = 18.

Тогда

A_1L = AL - AA_1 = 18 - 6 = 12.

Так как

\angle B_1KB = \angle LKA_1

как вертикальные и

\angle BB_1K = \angle KA_1L = 90^{\circ}

, то получаем, что

\triangle BB_1K \sim \triangle KA_1L

. Тогда их коэффициент подобия будет равен

\dfrac{BB_1}{A_1L} = \dfrac{6}{12} = \dfrac{1}{2}, \quad \dfrac{B_1K}{KA_1} = \dfrac{1}{2}.

Получаем, что

B_1K = 4

,

KA_1 = 8

.
По теореме о пропорциональных отрезках имеем:

\dfrac{A_1K}{KB_1} = \dfrac{A_1P}{PC_1} = \dfrac{2}{1}, \quad A_1P = 8, \quad PC_1 = 4.

\triangle A_1KP \sim A_1B_1C_1

по двум сторонам и углу между ними:

\dfrac{A_1K}{A_1B_1} = \dfrac{A_1P}{A_1C_1} = \dfrac{2}{3}

и

\angle A

— общий. Тогда получаем, что

KP = 8

. Так как

KP \parallel BC

и

KP \neq BC

, то

BKPC

— трапеция, ч.т.д.

б)

\triangle BB_1K = \triangle CC_1P

по двум катетам:

BB_1 = CC_1

и

B_1K = C_1P

, значит,

BK = CP

, а

BKCP

— равнобедренная трапеция.

В

\triangle BB_1K

по теореме Пифагора:

BK^2 = BB_1^2 + B_1K^2, \quad BK = \sqrt{BB_1^2 + B_1K^2} = \sqrt{6^2 + 4^2} = 2\sqrt{13}.

Пусть

KK'

и

PP'

— высоты трапеции, тогда

K'P' = KP = 8

и

BK' = P'C = \dfrac{12 - 8}{2} = 2

.

В

\triangle KBK'

по теореме Пифагора:

BK^2 = KK'^2 + BK'^2, \quad KK' = \sqrt{BK^2 - BK'^2} = \sqrt{52 - 4} = 4\sqrt{3}.

Вычислим площадь трапеции:

S_{BKPC} = \dfrac{1}{2}(KP + BC)\cdot KK' = \dfrac{1}{2}(8 + 12) \cdot 4\sqrt{3} = 40\sqrt{3}.

Ответ:

40\sqrt{3}

.