Сторона основания правильной треугольной призмы ABCA1B1C1 равна 12, а её боковое ребро равно 6. Плоскость сечения α содержит ребро BC и пересекает луч AA1 в точке L. Угол, образованный плоскостями α и ABC, равен 60∘. а) Докажите, что сечение призмы ABCA1B1C1 плоскостью α — трапеция.
б) Найдите площадь сечения призмы ABCA1B1C1 плоскостью α.
Решение
а) Пусть BL∩B1A1=K,CL∩C1A1=P, тогда BKPC -- искомое сечение.
Плоскость (BLC) пересекает параллельные плоскости (ABC) и (A1B1C1) по параллельным прямым, значит, KP∥BC. △BAL=△CAL по двум катетам (AC=AB,AL -- общая), откуда получаем, что BL=LC. Пусть M -- середина BC, тогда AM и LM -- высоты, медианы и биссектрисы треугольников ABC и LBC соответственно.
(BLC)∩(ABC)=BC,AM⊥BC,LM⊥BC, тогда ∠((ABC);(BLC))=∠LMA=60∘.
Из △ABC получаем:
AM=AC⋅sin60∘=12⋅23=63. Из △AML получаем:
AL=AM⋅tg60∘=63⋅3=18. Тогда
A1L=AL−AA1=18−6=12. Так как ∠B1KB=∠LKA1 как вертикальные и ∠BB1K=∠KA1L=90∘, то получаем, что △BB1K∼△KA1L. Тогда их коэффициент подобия будет равен
A1LBB1=126=21,KA1B1K=21. Получаем, что B1K=4,KA1=8. По теореме о пропорциональных отрезках имеем:
KB1A1K=PC1A1P=12,A1P=8,PC1=4. △A1KP∼A1B1C1 по двум сторонам и углу между ними: A1B1A1K=A1C1A1P=32 и ∠A -- общий. Тогда получаем, что KP=8. Так как KP∥BC и KP=BC, то BKPC -- трапеция, ч.т.д.
б) △BB1K=△CC1P по двум катетам: BB1=CC1 и B1K=C1P, значит, BK=CP, а BKCP -- равнобедренная трапеция.
В △BB1K по теореме Пифагора:
BK2=BB12+B1K2,BK=BB12+B1K2=62+42=213. Пусть KK′ и PP′ -- высоты трапеции, тогда K′P′=KP=8 и BK′=P′C=212−8=2.
В △KBK′ по теореме Пифагора:
BK2=KK′2+BK′2,KK′=BK2−BK′2=52−4=43.
Вычислим площадь трапеции:
SBKPC=21(KP+BC)⋅KK′=21(8+12)⋅43=403. Ответ: 403.
