Раздел III. Неопределённый интеграл — § 2. Интегрирование рациональных функций

Демидович — задача 1922

Б. П. Демидович, «Сборник задач и упражнений по математическому анализу». Условие, подробное решение и ответ.

Применяя различные приёмы, найти следующие интегралы:

Задача 1922

Применить подстановку t=x+ax+b\displaystyle t=\frac{x+a}{x+b} для вычисления интегралаI=∫dx(x+a)m(x+b)nI=\int\frac{dx}{(x+a)^m(x+b)^n}(mm и nn --- натуральные числа). Пользуясь этой подстановкой, найти∫dx(x−2)2(x+3)3.\int\frac{dx}{(x-2)^2(x+3)^3}.
Ответ:При m,n∈Nm,n\in\mathbb N и a≠ba\ne bI(m,n)=(b−a)1−m−n∫(1−t)m+n−2tm dt,t=x+ax+bI(m,n)
=(b-a)^{1-m-n}
\int\dfrac{(1-t)^{m+n-2}}{t^m}\,dt,
\qquad
t=\dfrac{x+a}{x+b}Здесь x≠−ax\ne-a и x≠−bx\ne-b. Если a=ba=b, тоI(m,n)=−1(m+n−1)(x+a)m+n−1+C,x≠−aI(m,n)=-\dfrac{1}{(m+n-1)(x+a)^{m+n-1}}+C,
\qquad x\ne-aДля заданного интеграла−1125(x−2)−2125(x+3)−150(x+3)2−3625ln⁡∣x−2x+3∣+C,x≠−3,x≠2\begin{aligned}
&-\dfrac{1}{125(x-2)}
-\dfrac{2}{125(x+3)}
-\dfrac{1}{50(x+3)^2}-\dfrac{3}{625}
\ln\left|\dfrac{x-2}{x+3}\right|+C,
\qquad
x\ne-3,
\quad
x\ne2
\end{aligned}На трёх промежутках области определения постоянная CC выбирается независимо.

Решение

Пусть m,n∈Nm,n\in\mathbb N. Сначала рассмотрим случай a≠ba\ne b. По условию положимt=x+ax+bt=\dfrac{x+a}{x+b}Выразим через tt все необходимые величины:x=bt−a1−t,x+a=(b−a)t1−t,x+b=b−a1−tx=\dfrac{bt-a}{1-t},
\qquad
x+a=\dfrac{(b-a)t}{1-t},
\qquad
x+b=\dfrac{b-a}{1-t}Кроме того,dx=b−a(1−t)2 dtdx=\dfrac{b-a}{(1-t)^2}\,dtПоскольку показатели mm и nn являются целыми, после подстановки исходный интеграл сводится к рациональной функции:I(m,n)=∫dx(x+a)m(x+b)n==(b−a)1−m−n∫(1−t)m+n−2tm dt\begin{aligned}
I(m,n)
&=\int\dfrac{dx}{(x+a)^m(x+b)^n}=\\
&=(b-a)^{1-m-n}
\int\dfrac{(1-t)^{m+n-2}}{t^m}\,dt
\end{aligned}Если a=ba=b, то подстановка вырождается, а интеграл вычисляется непосредственно:I(m,n)=−1(m+n−1)(x+a)m+n−1+CI(m,n)
=-\dfrac{1}
{(m+n-1)(x+a)^{m+n-1}}+CВ заданном интеграле a=−2a=-2, b=3b=3, m=2m=2, n=3n=3. Следовательно,t=x−2x+3t=\dfrac{x-2}{x+3}и∫dx(x−2)2(x+3)3=1625∫(1−t)3t2 dt==1625∫(1t2−3t+3−t)dt==1625(−1t−3ln⁡∣t∣+3t−t22)+C\begin{aligned}
\int\dfrac{dx}{(x-2)^2(x+3)^3}
&=\dfrac{1}{625}
\int\dfrac{(1-t)^3}{t^2}\,dt=\\
&=\dfrac{1}{625}
\int\left(\dfrac{1}{t^2}-\dfrac{3}{t}+3-t\right)dt=\\
&=\dfrac{1}{625}
\left(-\dfrac{1}{t}-3\ln|t|+3t-\dfrac{t^2}{2}\right)+C
\end{aligned}Для обратной подстановки используем равенстваt=x−2x+3,1t=x+3x−2,t2=(x−2)2(x+3)2t=\dfrac{x-2}{x+3},
\qquad
\dfrac{1}{t}=\dfrac{x+3}{x-2},
\qquad
t^2=\dfrac{(x-2)^2}{(x+3)^2}Следовательно,∫dx(x−2)2(x+3)3=1625(−x+3x−2−3ln⁡∣x−2x+3∣+3x−2x+3−(x−2)22(x+3)2)+C\begin{aligned}
\int\dfrac{dx}{(x-2)^2(x+3)^3}
&=\dfrac{1}{625}\left(
-\dfrac{x+3}{x-2}
-3\ln\left|\dfrac{x-2}{x+3}\right|\right.\left.
+3\dfrac{x-2}{x+3}
-\dfrac{(x-2)^2}{2(x+3)^2}
\right)+C
\end{aligned}Рациональные слагаемые приводим к простым дробям:1625(−x+3x−2+3x−2x+3−(x−2)22(x+3)2)=−1125(x−2)−2125(x+3)−150(x+3)2+31250\begin{aligned}
\dfrac{1}{625}\left(
-\dfrac{x+3}{x-2}
+3\dfrac{x-2}{x+3}
-\dfrac{(x-2)^2}{2(x+3)^2}
\right)
&=-\dfrac{1}{125(x-2)}
-\dfrac{2}{125(x+3)}-\dfrac{1}{50(x+3)^2}
+\dfrac{3}{1250}
\end{aligned}Постоянное слагаемое включаем в CC. Получаем∫dx(x−2)2(x+3)3=−1125(x−2)−2125(x+3)−150(x+3)2−3625ln⁡∣x−2x+3∣+C\begin{aligned}
\int\dfrac{dx}{(x-2)^2(x+3)^3}
&=-\dfrac{1}{125(x-2)}
-\dfrac{2}{125(x+3)}
-\dfrac{1}{50(x+3)^2}-\dfrac{3}{625}
\ln\left|\dfrac{x-2}{x+3}\right|+C
\end{aligned}На каждом из промежутков (−∞,−3)(-\infty,-3), (−3,2)(-3,2) и (2,+∞)(2,+\infty) постоянная интегрирования выбирается независимо.
Демидович № 1922 — решение и ответ | Высшая математика — Профиматика