Раздел III. Неопределённый интеграл — § 2. Интегрирование рациональных функций

Демидович — задача 1917

Б. П. Демидович, «Сборник задач и упражнений по математическому анализу». Условие, подробное решение и ответ.

Применяя различные приёмы, найти следующие интегралы:

\displaystyle\int\frac{x^2+1}{x^4+x^2+1}\,dx

Ответ:

\dfrac{1}{\sqrt3}\left( \arctg\dfrac{2x+1}{\sqrt3} +\arctg\dfrac{2x-1}{\sqrt3} \right)+C

Решение

Разложим знаменатель на множители:

x^4+x^2+1=(x^2+x+1)(x^2-x+1)

Тогда

\begin{aligned} \dfrac12\left( \dfrac{1}{x^2+x+1}+\dfrac{1}{x^2-x+1} \right) &=\dfrac{(x^2-x+1)+(x^2+x+1)} {2(x^2+x+1)(x^2-x+1)}=\\ &=\dfrac{x^2+1}{x^4+x^2+1}\end{aligned}

Поскольку

x^2\pm x+1 =\left(x\pm\dfrac{1}{2}\right)^2+\dfrac{3}{4}

каждое слагаемое интегрируется по стандартной формуле:

\begin{aligned} \dfrac{1}{2}\int\dfrac{dx}{x^2+x+1} &=\dfrac{1}{2}\int \dfrac{dx}{\left(x+\dfrac{1}{2}\right)^2 +\left(\dfrac{\sqrt3}{2}\right)^2} =\dfrac{1}{\sqrt3}\arctg\dfrac{2x+1}{\sqrt3},\\ \dfrac{1}{2}\int\dfrac{dx}{x^2-x+1} &=\dfrac{1}{\sqrt3}\arctg\dfrac{2x-1}{\sqrt3}\end{aligned}

Поэтому

\int\dfrac{x^2+1}{x^4+x^2+1}\,dx =\dfrac{1}{\sqrt3}\arctg\dfrac{2x+1}{\sqrt3} +\dfrac{1}{\sqrt3}\arctg\dfrac{2x-1}{\sqrt3}+C

Оба квадратных трёхчлена положительны при всех

x\in\mathbb R

, поэтому дополнительных ограничений нет.