Раздел III. Неопределённый интеграл — § 2. Интегрирование рациональных функций

Демидович — задача 1921

Б. П. Демидович, «Сборник задач и упражнений по математическому анализу». Условие, подробное решение и ответ.

Применяя различные приёмы, найти следующие интегралы:

Задача 1921

Вывести рекуррентную формулу для вычисления интегралаIn=∫dx(ax2+bx+c)n(a≠0).I_n=\int\frac{dx}{(ax^2+bx+c)^n}\qquad(a\ne0).Пользуясь этой формулой, вычислитьI3=∫dx(x2+x+1)3.I_3=\int\frac{dx}{(x^2+x+1)^3}.
Ответ:Пусть a≠0a\ne0. Если Ik(a)I_k(a) обозначает выбранную первообразную, то при D=4ac−b2≠0D=4ac-b^2\ne0 и n⩾2n\geqslant2 на каждом промежутке, где ax2+bx+c≠0ax^2+bx+c\ne0, имеемIn(a)=2ax+b(n−1)D(ax2+bx+c)n−1+2a(2n−3)(n−1)DIn−1(a)I_n(a)
=\dfrac{2ax+b}
{(n-1)D(ax^2+bx+c)^{n-1}}
+\dfrac{2a(2n-3)}{(n-1)D}I_{n-1}(a)При D=0D=0In(a)=−1(2n−1)an(x+b2a)2n−1+C,x≠−b2aI_n(a)
=-\dfrac{1}
{(2n-1)a^n\left(x+\dfrac{b}{2a}\right)^{2n-1}}+C,
\qquad
x\ne-\dfrac{b}{2a}В частности,I3=(2x+1)(2x2+2x+3)6(x2+x+1)2+433arctg⁡2x+13+C,x∈RI_3
=\dfrac{(2x+1)(2x^2+2x+3)}
{6(x^2+x+1)^2}
+\dfrac{4}{3\sqrt3}
\arctg\dfrac{2x+1}{\sqrt3}+C,
\qquad
x\in\mathbb R

Решение

ОбозначимQ=ax2+bx+c,D=4ac−b2Q=ax^2+bx+c,
\qquad
D=4ac-b^2Используем тождество из указания:(2ax+b)2=4aQ−D(2ax+b)^2=4aQ-DПри выводе обозначим черезIk(a)=∫dx(ax2+bx+c)kI_k(a)=\int\dfrac{dx}{(ax^2+bx+c)^k}одну выбранную первообразную. Произвольную постоянную добавим к окончательному результату.

При n⩾2n\geqslant2 найдём производную:(2ax+bQn−1)′=2aQ−(n−1)(2ax+b)2Qn==2a(3−2n)Qn−1+(n−1)DQn\begin{aligned}
\left(\dfrac{2ax+b}{Q^{n-1}}\right)'
&=\dfrac{2aQ-(n-1)(2ax+b)^2}{Q^n}=\\
&=\dfrac{2a(3-2n)}{Q^{n-1}}
+\dfrac{(n-1)D}{Q^n}
\end{aligned}Если D≠0D\ne0, отсюда получаем рекуррентную формулуIn(a)=2ax+b(n−1)D Qn−1+2a(2n−3)(n−1)DIn−1(a)I_n(a)
=\dfrac{2ax+b}{(n-1)D\,Q^{n-1}}
+\dfrac{2a(2n-3)}{(n-1)D}I_{n-1}(a)Она применяется на любом промежутке, где Q≠0Q\ne0.

Если D=0D=0, то с учётом условия a≠0a\ne0 квадратный трёхчлен является полным квадратом:Q=a(x+b2a)2Q=a\left(x+\dfrac{b}{2a}\right)^2Поэтому в этом случае рекуррентная формула не требуется иIn(a)=−1(2n−1)an(x+b2a)2n−1+C,x≠−b2aI_n(a)
=-\dfrac{1}
{(2n-1)a^n\left(x+\dfrac{b}{2a}\right)^{2n-1}}+C,
\qquad
x\ne-\dfrac{b}{2a}Теперь вычислим заданный интеграл. ДляQ=x2+x+1,D=3Q=x^2+x+1,
\qquad
D=3При этомQ=x2+x+1=(x+12)2+34>0Q=x^2+x+1
=\left(x+\dfrac{1}{2}\right)^2+\dfrac{3}{4}>0Следовательно, заданный интеграл определён при всех x∈Rx\in\mathbb R.

Сначала находимI1=∫dxx2+x+1=23arctg⁡2x+13+C\begin{aligned}
I_1
&=\int\dfrac{dx}{x^2+x+1}=\dfrac{2}{\sqrt3}
\arctg\dfrac{2x+1}{\sqrt3}+C
\end{aligned}По рекуррентной формулеI2=2x+13Q+23I1I_2
=\dfrac{2x+1}{3Q}+\dfrac{2}{3}I_1иI3=2x+16Q2+I2I_3
=\dfrac{2x+1}{6Q^2}+I_2Следовательно,I3=2x+16Q2+2x+13Q+433arctg⁡2x+13+C==(2x+1)(2x2+2x+3)6(x2+x+1)2+433arctg⁡2x+13+C\begin{aligned}
I_3
&=\dfrac{2x+1}{6Q^2}
+\dfrac{2x+1}{3Q}
+\dfrac{4}{3\sqrt3}
\arctg\dfrac{2x+1}{\sqrt3}+C=\\
&=\dfrac{(2x+1)(2x^2+2x+3)}
{6(x^2+x+1)^2}
+\dfrac{4}{3\sqrt3}
\arctg\dfrac{2x+1}{\sqrt3}+C
\end{aligned}
Демидович № 1921 — решение и ответ | Высшая математика — Профиматика