Раздел III. Неопределённый интеграл — § 2. Интегрирование рациональных функций

Демидович — задача 1923

Б. П. Демидович, «Сборник задач и упражнений по математическому анализу». Условие, подробное решение и ответ.

Применяя различные приёмы, найти следующие интегралы:

Вычислить

\int\frac{P_n(x)}{(x-a)^{n+1}}\,dx,

если

P_n(x)

есть многочлен степени

n

относительно

x

Ответ:

\begin{aligned} \int\dfrac{P_n(x)}{(x-a)^{n+1}}\,dx &=\dfrac{P_n^{(n)}(a)}{n!}\ln|x-a|-\sum_{k=0}^{n-1} \dfrac{P_n^{(k)}(a)} {k!(n-k)(x-a)^{n-k}}+C, \qquad x\ne a\end{aligned}

На двух промежутках области определения постоянная

C

выбирается независимо.

Решение

Разложим многочлен

P_n(x)

по формуле Тейлора в точке

a

. Поскольку его степень равна

n

, разложение является точным:

P_n(x) =\sum_{k=0}^{n} \dfrac{P_n^{(k)}(a)}{k!}(x-a)^k

После деления на

(x-a)^{n+1}

получаем

\dfrac{P_n(x)}{(x-a)^{n+1}} =\sum_{k=0}^{n} \dfrac{P_n^{(k)}(a)}{k!} (x-a)^{k-n-1}

Для

k=0,1,\ldots,n-1

имеем

\int(x-a)^{k-n-1}\,dx =-\dfrac{1}{(n-k)(x-a)^{n-k}}

При

k=n

появляется логарифм:

\int\dfrac{dx}{x-a}=\ln|x-a|+C

Следовательно,

\begin{aligned} \int\dfrac{P_n(x)}{(x-a)^{n+1}}\,dx &=\dfrac{P_n^{(n)}(a)}{n!}\ln|x-a|-\sum_{k=0}^{n-1} \dfrac{P_n^{(k)}(a)} {k!(n-k)(x-a)^{n-k}}+C\end{aligned}

Формула справедлива при

x\ne a

. На двух промежутках области определения постоянная интегрирования выбирается независимо.