Раздел III. Неопределённый интеграл — § 2. Интегрирование рациональных функций

Демидович — задача 1919

Б. П. Демидович, «Сборник задач и упражнений по математическому анализу». Условие, подробное решение и ответ.

Применяя различные приёмы, найти следующие интегралы:

Задача 1919

∫x5−xx8+1 dx\displaystyle\int\frac{x^5-x}{x^8+1}\,dx.
Ответ:142ln⁡x4−2x2+1x4+2x2+1+C\dfrac{1}{4\sqrt2}\ln\dfrac{x^4-\sqrt2x^2+1}
{x^4+\sqrt2x^2+1}+C

Решение

Положимt=x2,dt=2x dxt=x^2,
\qquad
dt=2x\,dxТогда∫x5−xx8+1 dx=12∫t2−1t4+1 dt\int\dfrac{x^5-x}{x^8+1}\,dx
=\dfrac{1}{2}\int\dfrac{t^2-1}{t^4+1}\,dtРазложим знаменатель:t4+1=(t2−2t+1)(t2+2t+1)t^4+1=(t^2-\sqrt2t+1)(t^2+\sqrt2t+1)ОбозначимA=t2−2t+1,B=t2+2t+1A=t^2-\sqrt2t+1,
\qquad
B=t^2+\sqrt2t+1Тогда AB=t4+1AB=t^4+1, и непосредственное дифференцирование даётddtln⁡AB=2t−2A−2t+2B==(2t−2)B−(2t+2)AAB=22(t2−1)t4+1\begin{aligned}
\dfrac{d}{dt}\ln\dfrac{A}{B}
&=\dfrac{2t-\sqrt2}{A}-\dfrac{2t+\sqrt2}{B}=\\
&=\dfrac{(2t-\sqrt2)B-(2t+\sqrt2)A}{AB}
=\dfrac{2\sqrt2(t^2-1)}{t^4+1}
\end{aligned}Следовательно,∫x5−xx8+1 dx=142ln⁡x4−2x2+1x4+2x2+1+C\int\dfrac{x^5-x}{x^8+1}\,dx
=\dfrac{1}{4\sqrt2}\ln\dfrac{x^4-\sqrt2x^2+1}
{x^4+\sqrt2x^2+1}+CОба выражения под логарифмом положительны, посколькуx4−2x2+1=(x2−12)2+12>0x^4-\sqrt2x^2+1
=\left(x^2-\dfrac{1}{\sqrt2}\right)^2+\dfrac{1}{2}>0и x4+2x2+1>0x^4+\sqrt2x^2+1>0 при всех x∈Rx\in\mathbb R.
Демидович № 1919 — решение и ответ | Высшая математика — Профиматика