Раздел III. Неопределённый интеграл — § 2. Интегрирование рациональных функций

Демидович — задача 1925

Б. П. Демидович, «Сборник задач и упражнений по математическому анализу». Условие, подробное решение и ответ.

Применяя различные приёмы, найти следующие интегралы:

Вычислить

\int\frac{dx}{(1+x)^{2n}},

где

n

--- целое положительное число.

Ответ:

-\dfrac{1}{(2n-1)(1+x)^{2n-1}}+C, \qquad x\ne-1

На двух промежутках области определения постоянная

C

выбирается независимо.

Решение

Подынтегральная функция определена при

x\ne-1

. Поскольку

n

является целым положительным числом,

2n\ne1

. Поэтому

\begin{aligned} \int\dfrac{dx}{(1+x)^{2n}} &=\int(1+x)^{-2n}\,dx=\\ &=-\dfrac{1}{(2n-1)(1+x)^{2n-1}}+C\end{aligned}

На промежутках

(-\infty,-1)

(-1,+\infty)

постоянная интегрирования выбирается независимо.