Раздел III. Неопределённый интеграл — § 2. Интегрирование рациональных функций

Демидович — задача 1920

Б. П. Демидович, «Сборник задач и упражнений по математическому анализу». Условие, подробное решение и ответ.

Применяя различные приёмы, найти следующие интегралы:

\displaystyle\int\frac{x^4+1}{x^6+1}\,dx

Ответ:

\dfrac{2}{3}\arctg x +\dfrac{1}{3}\arctg(2x+\sqrt3) +\dfrac{1}{3}\arctg(2x-\sqrt3)+C

Решение

Разложим знаменатель:

x^6+1=(x^2+1)(x^4-x^2+1)

Обозначив

Q=x^4-x^2+1

, проверим первое разложение приведением к общему знаменателю:

\begin{aligned} \dfrac{2}{3(x^2+1)}+\dfrac{x^2+1}{3Q} &=\dfrac{2Q+(x^2+1)^2}{3(x^2+1)Q}=\\ &=\dfrac{3x^4+3}{3(x^6+1)} =\dfrac{x^4+1}{x^6+1}\end{aligned}

Для второго слагаемого используем разложение

x^4-x^2+1=(x^2+\sqrt3x+1)(x^2-\sqrt3x+1)

Второе разложение также следует непосредственно из приведения к общему знаменателю:

\begin{aligned} \dfrac{1}{2}\left( \dfrac{1}{x^2+\sqrt3x+1} +\dfrac{1}{x^2-\sqrt3x+1} \right) &=\dfrac{(x^2-\sqrt3x+1)+(x^2+\sqrt3x+1)} {2(x^4-x^2+1)}=\\ &=\dfrac{x^2+1}{x^4-x^2+1}\end{aligned}

Так как

x^2\pm\sqrt3x+1 =\left(x\pm\dfrac{\sqrt3}{2}\right)^2+\dfrac{1}{4}

имеем

\begin{aligned} \int\dfrac{dx}{x^2+\sqrt3x+1} &=2\arctg(2x+\sqrt3)+C\\ \int\dfrac{dx}{x^2-\sqrt3x+1} &=2\arctg(2x-\sqrt3)+C\end{aligned}

Следовательно,

\begin{aligned} \int\dfrac{x^4+1}{x^6+1}\,dx &=\dfrac{2}{3}\int\dfrac{dx}{x^2+1} +\dfrac{1}{6}\int\dfrac{dx}{x^2+\sqrt3x+1} +\dfrac{1}{6}\int\dfrac{dx}{x^2-\sqrt3x+1}=\\ &=\dfrac{2}{3}\arctg x +\dfrac{1}{3}\arctg(2x+\sqrt3) +\dfrac{1}{3}\arctg(2x-\sqrt3)+C\end{aligned}

Знаменатель

x^6+1

положителен при всех действительных

x