Раздел III. Неопределённый интеграл — § 2. Интегрирование рациональных функций

Демидович — задача 1916

Б. П. Демидович, «Сборник задач и упражнений по математическому анализу». Условие, подробное решение и ответ.

Применяя различные приёмы, найти следующие интегралы:

\displaystyle\int\frac{x^4-1}{x(x^4-5)(x^5-5x+1)}\,dx

Ответ:

\dfrac{1}{5}\ln\left| \dfrac{x(x^4-5)}{x^5-5x+1} \right|+C, \qquad x(x^4-5)(x^5-5x+1)\ne0

На различных промежутках области определения постоянные интегрирования могут быть различными.

Решение

Обозначим

u=x^5-5x+1

Тогда

du=5(x^4-1)\,dx, \qquad u-1=x^5-5x=x(x^4-5)

Следовательно,

\begin{aligned} \int\dfrac{x^4-1}{x(x^4-5)(x^5-5x+1)}\,dx &=\dfrac{1}{5}\int\dfrac{du}{u(u-1)}=\dfrac{1}{5}\int\left(\dfrac{1}{u-1}-\dfrac{1}{u}\right)du=\\ &=\dfrac{1}{5}\ln\left|\dfrac{u-1}{u}\right|+C=\dfrac{1}{5}\ln\left| \dfrac{x(x^4-5)}{x^5-5x+1} \right|+C\end{aligned}

Формула справедлива на каждом промежутке, где знаменатель исходной функции не обращается в нуль.