Раздел III. Неопределённый интеграл — § 2. Интегрирование рациональных функций

Демидович — задача 1924

Б. П. Демидович, «Сборник задач и упражнений по математическому анализу». Условие, подробное решение и ответ.

Применяя различные приёмы, найти следующие интегралы:

Задача 1924

Пусть R(x)=R∗(x2)R(x)=R^*(x^2), где R∗R^* --- рациональная функция. Какими особенностями обладает разложение функции R(x)R(x) на рациональные дроби?
Ответ:Функция R(x)R(x) чётная. Поэтому её многочленная часть содержит только чётные степени, ненулевые полюсы α\alpha и −α-\alpha имеют одинаковые порядки, а соответствующие коэффициенты удовлетворяют соотношениюBk=(−1)kAkB_k=(-1)^kA_kВ главной части при x=0x=0 встречаются только дроби с чётными степенями знаменателя.

Решение

Из равенства R(x)=R∗(x2)R(x)=R^*(x^2) следует, что функция RR является чётной:R(−x)=R(x)R(-x)=R(x)Напомним используемые термины. Многочленная часть получается при делении числителя рациональной функции на знаменатель. Главной частью при полюсе x=αx=\alpha называется сумма слагаемых с отрицательными степенями x−αx-\alpha; например, у дроби A(x−α)2+Bx−α\dfrac{A}{(x-\alpha)^2}+\dfrac{B}{x-\alpha} вся записанная сумма является главной частью.

Применим метод неопределённых коэффициентов непосредственно к разложению функции R(x)R(x). Над C\mathbb C знаменатель раскладывается на линейные множители, поэтому связь между коэффициентами при противоположных полюсах видна особенно ясно. При переходе к вещественному разложению комплексно-сопряжённые слагаемые объединяются в дроби с неприводимыми квадратными знаменателями.

Пусть α≠0\alpha\ne0 является полюсом порядка mm. Вместе с ним полюсом того же порядка является точка −α-\alpha. Запишем соответствующую пару главных частей в виде∑k=1m(Ak(x−α)k+Bk(x+α)k)\sum_{k=1}^{m}
\left(
\dfrac{A_k}{(x-\alpha)^k}
+\dfrac{B_k}{(x+\alpha)^k}
\right)После замены xx на −x-x эта пара принимает вид∑k=1m((−1)kBk(x−α)k+(−1)kAk(x+α)k)\sum_{k=1}^{m}
\left(
\dfrac{(-1)^kB_k}{(x-\alpha)^k}
+\dfrac{(-1)^kA_k}{(x+\alpha)^k}
\right)Разложение на простейшие дроби единственно: после выбора знаменателей коэффициенты определяются однозначно. Поэтому из равенства R(−x)=R(x)R(-x)=R(x) следует, что коэффициенты при одинаковых дробях должны совпасть:Ak=(−1)kBk,Bk=(−1)kAkA_k=(-1)^kB_k,
\qquad
B_k=(-1)^kA_kТеперь рассмотрим многочленную частьP(x)=c0+c1x+c2x2+…+crxrP(x)=c_0+c_1x+c_2x^2+\ldots+c_rx^rИз равенства P(−x)=P(x)P(-x)=P(x) после сравнения коэффициентов при одинаковых степенях xx следуетc1=c3=c5=…=0c_1=c_3=c_5=\ldots=0Поэтому многочленная часть содержит только чётные степени.

Наконец, пусть главная часть при x=0x=0 записана какC1x+C2x2+…+Csxs\dfrac{C_1}{x}
+\dfrac{C_2}{x^2}
+\ldots
+\dfrac{C_s}{x^s}После замены xx на −x-x коэффициент CkC_k умножается на (−1)k(-1)^k. Сравнение коэффициентов показывает, что Ck=0C_k=0 при всех нечётных kk. Значит, при x=0x=0 остаются только дроби с чётными степенями знаменателя.
Демидович № 1924 — решение и ответ | Высшая математика — Профиматика