17 Теорема об отношении объёмов

Теорема об отношении объёмов

1. Пусть есть две пирамиды с общей вершиной, основания которых лежат в одной плоскости. Причём площадь основания первой равна \(S_1\), площадь основания второй равна \(S_2\), тогда

\[\dfrac{V_2}{V_1} = \dfrac{S_2}{S_1}.\]
pic_106

Доказательство: Данные пирамиды имеют общую высоту длины \(h\). Объём первой пирамиды равен \(V_1 = \dfrac{1}{3}S_1h\), объём второй равен \(V_2 = \dfrac{1}{3}S_2h\). Значит,

\[\dfrac{V_2}{V_1} = \dfrac{\dfrac{1}{3}S_2h}{\dfrac{1}{3}S_1h} = \dfrac{S_2}{S_1}.\]

2. Пусть у нас есть две пирамиды с общим основанием и длинами высот \(h_1\) и \(h_2\) соответственно, тогда

\[\dfrac{V_2}{V_1} = \dfrac{h_2}{h_1}.\]
pic_107

Доказательство: Пусть площадь основания данных пирамид равна \(S_{\text{осн}}\), тогда объём первой пирамиды равен \(V_1 = \dfrac{1}{3}S_{\text{осн}}\cdot h_1\), объём второй равен \(V_2 = \dfrac{1}{3}S_{\text{осн}}\cdot h_2\), значит,

\[\dfrac{V_2}{V_1} = \dfrac{\dfrac{1}{3}S_{\text{осн}}\cdot h_2}{\dfrac{1}{3}S_{\text{осн}}\cdot h_1} = \dfrac{h_2}{h_1}.\]
end