3 Расположение прямой и плоскости в пространстве

Расположение прямой и плоскости в пространстве

Существует три варианта взаимного расположения прямой и плоскости.

Случай 1: Прямая $a$ параллельна плоскости $\alpha$ (это означает, что прямая не имеет общих точек с плоскостью).

Случай 2: Прямая $a$ пересекает плоскость $\alpha$ в некоторой точке $C$ .

Случай 3: Прямая $a$ лежит в плоскости $\alpha$ .

1. Если прямая, не лежащая в данной плоскости, параллельна какой-нибудь прямой, лежащей в этой плоскости, то она параллельна этой плоскости.

Доказательство: Пусть прямая $b$ лежит в плоскости $\alpha$ , а прямая $a$ параллельна прямой $b$ и не лежит в плоскости $\alpha$ .

Допустим, что прямая $a$ не параллельна плоскости $\alpha$ , тогда она её пересекает. Прямая $b$ параллельна прямой $a$ , поэтому прямая $b$ также должна пересекать плоскость $\alpha$ (так как, если одна из параллельных прямых пересекает некоторую плоскость, то и другая прямая пересекает эту плоскость), но это не так. Противоречие. Значит, прямая $a$ параллельна плоскости $\alpha$ .

2. Если плоскость проходит через данную прямую, параллельную другой плоскости, и пересекает эту плоскость, то линия пересечения плоскостей параллельна данной прямой.

Доказательство: Пусть прямая $a$ параллельная плоскости $\alpha$ лежит в плоскости $\beta$ , и плоскости $\alpha$ и $\beta$ пересекаются по прямой $b$ . Прямые $a$ и $b$ лежат в плоскости $\beta$ . Тогда, либо эти прямые параллельны, либо пересекаются. При этом прямая $a$ параллельна плоскости $\alpha$ , а значит не может пересекать прямую $b$ , то есть $a$ и $b$ параллельны.

3. Если одна из параллельных прямых параллельна данной плоскости, то другая прямая либо тоже параллельна данной плоскости, либо лежит в этой плоскости.

Доказательство: Пусть $a$ и $b$ – параллельные прямые и прямая $a$ параллельна плоскости $\alpha$ . Если бы прямая $b$ пересекала плоскость $\alpha$ , то её пересекала бы и прямая $a$ . Противоречие. Значит, прямая $b$ либо лежит в плоскости $\alpha$ , либо параллельна ей.