6 Свойства призмы, параллелепипеда, куба

Свойства призмы, параллелепипеда, куба

Определение: Высотой призмы называется перпендикуляр, проведённый из какой-нибудь точки одного основания к плоскости другого основания.

Определение: Диагональ призмы – это отрезок, соединяющий две её вершины, не принадлежащие одной грани.

Определение: Площадью полной поверхности призмы называется суммарная площадь всех граней призмы (обозначается $S_{\text{полн}}$ ). Площадью боковой поверхности призмы называется суммарная площадь боковых граней призмы (обозначается $S_{бок}$ ).

1. Площадь боковой поверхности прямой призмы равна

S_{бок} = P\cdot h,

где $P$ – периметр основания, $h$ – высота призмы.

Доказательство: Пусть $a_1$ , $a_2$ , $\ldots$ , $a_n$ – стороны основания. Боковые грани нашей призмы – это прямоугольники со сторонами $a_i$ и $h$ (так как наша призма является прямой). Тогда площадь боковой поверхности призмы равна

a_1\cdot h + a_2\cdot h + \ldots + a_n\cdot h = (a_1+ a_2+ \ldots + a_n)\cdot h = P\cdot h.

2. Площадь полной поверхности прямой призмы равна

S_{\text{полн}} = P\cdot h + 2\cdot S_{осн}.

3. Объём призмы равен

V = S_{осн}\cdot h,

где $h$ – высота призмы.

4. Площадь полной поверхности прямоугольного параллелепипеда с рёбрами $a$ , $b$ , $c$ равна

S = 2ab + 2ac + 2bc.

Доказательство: Действительно, поверхность параллелепипеда состоит из двух прямоугольников со сторонами $a$ и $b$ (их площади равны $ab$ ), из двух прямоугольников со сторонами $a$ и $c$ (их площади равны $ac$ ) и из двух прямоугольников со сторонами $b$ и $c$ (их площади равны $bc$ ). Тогда площадь поверхности равна

S=2ab + 2ac + 2bc.

5. Объём прямоугольного параллелепипеда с рёбрами $a$ , $b$ , $c$ равен

V=abc.

6. Диагонали прямоугольного параллелепипеда со сторонами $a$ , $b$ , $c$ равны

d=\sqrt{a^2 + b^2 + c^2}.

Доказательство: Пусть $ABCDA_1B_1C_1D_1$ – прямоугольный параллелепипед. $AB = b$ , $BC = a$ , $AA_1 = c$ . Тогда из треугольника $ABC$ по теореме Пифагора $AC = \sqrt{a^2 + b^2}$ . Применим теперь теорему Пифагора для треугольника $ACA_1$ :

A_1C = \sqrt{ \left( \sqrt{a^2 + b^2} \right)^2 + c^2} = \sqrt{a^2 + b^2 + c^2}.

7. Площадь полной поверхности куба с ребром $a$ равна $6a^2$ .

8. Объём куба с ребром $a$ равен $a^3$ .

9. Длина диагонали куба с ребром $a$ равна $a\sqrt{3}$ .