2 Расположение прямых в пространстве

Расположение прямых в пространстве

В пространстве есть три варианта взаимного расположения двух различных прямых.

Случай 1: Две прямые $a$ и $b$ пересекаются в некоторой точке $C$ .

Случай 2: Две прямые $a$ и $b$ параллельны (это означает, что существует плоскость, в которой данные прямые лежат, но не пересекаются).

Случай 3: Две прямые $a$ и $b$ скрещиваются (это значит, что не существует плоскости, в которой они лежат).

1. Через любую точку пространства, не лежащую на данной прямой, проходит ровно одна прямая, параллельная данной.

Доказательство: Возьмём прямую $a$ и точку $M$ , не лежащую на прямой $a$ . Прямую $a$ можно задать двумя точками, поэтому по аксиоме $1$ через прямую $a$ и точку $M$ проходит ровно одна плоскость $\alpha$ . В этой плоскости проведём прямую $b$ через точку $M$ параллельно прямой $a$ . Нам известно, что такая прямая ровно одна.

Определение: Прямая пересекает данную плоскость, если они имеют ровно одну общую точку.

2. Если одна из параллельных прямых пересекает данную плоскость, то и другая прямая пересекает эту плоскость.

Доказательство: Пусть $a$ и $b$ – параллельные прямые, причём $a$ пересекает плоскость $\alpha$ в точке $M$ . Мы знаем (по определению), что существует плоскость $\beta$ , в которой лежат параллельные прямые $a$ и $b$ . $\alpha$ и $\beta$ имеют общую точку $M$ , значит, по аксиоме $3$ имеют общую прямую $c$ . Прямая $c$ лежит в плоскости $\beta$ и пересекает одну из параллельных прямых, лежащих в этой плоскости (прямую $a$ ), значит, она также пересекает прямую $b$ в некоторой точке $N$ . Точка $N$ лежит на прямой $c$ , значит, она лежит в плоскости $\alpha$ .

Докажем теперь, что $N$ – единственная общая тока плоскости $\alpha$ и прямой $b$ . Пусть это не так, и существует ещё одна общая точка, тогда по аксиоме $2$ прямая $b$ целиком лежит в плоскости $\alpha$ . При этом прямая $b$ лежит в плоскости $\beta$ , значит, $b$ – прямая, по которой пересекаются $\alpha$ и $\beta$ . Следовательно, прямые $b$ и $c$ совпадают, но тогда $a$ и $b$ пересекаются. Противоречие.

3. Если две различные прямые параллельны третьей прямой, то они параллельны.

Доказательство: Пусть $a\,||\,c$ и $b\,||\,c$ . Покажем, что прямые $a$ и $b$ лежат в одной плоскости и не пересекаются.

Действительно, отметим точку $M$ на прямой $b$ . Проведём через точку $M$ и прямую $a$ плоскость $\alpha$ . Мы знаем, что $a\,||\,c$ , следовательно прямая $c$ параллельна плоскости $\alpha$ . Если $b$ пересекает плоскость $\alpha$ , то из пункта $2$ следует, что и прямая $c$ пересекает эту плоскость, но $с\,||\,\alpha$ . Получаем противоречие, то есть прямые $a$ и $b$ лежат в одной плоскости.

Если бы $a$ и $b$ пересекались, то через точку их пересечения проходило бы две различные прямые, параллельные прямой $c$ , чего быть не может. Значит, они параллельны.

4. Если одна из двух прямых лежит в некоторой плоскости, а другая пересекает эту плоскость в точке, не лежащей на этой прямой, то эти прямые скрещиваются

Доказательство: Пусть прямая $a$ лежит в плоскости $\alpha$ , а прямая $b$ пересекает $\alpha$ в точке $C$ . Предположим, что прямые $a$ и $b$ лежат в одной плоскости. Через прямую $a$ и точку $C$ проходит ровно одна плоскость - это плоскость $\alpha$ . Но тогда прямая $b$ тоже должна лежать в плоскости $\alpha$ . Противоречие.