7 Свойства пирамиды

Свойства пирамиды

Определение: Высотой пирамиды называется перпендикуляр, опущенный из вершины на основание пирамиды.

1. Боковые рёбра правильной пирамиды равны, а боковые грани являются равными равнобедренными треугольниками.

Доказательство: Рассмотрим правильную пирамиду $SA_1A_2\ldots A_n$ . Пусть $O$ – проекция вершины $S$ на основание (то есть $SO$ – высота), причём $SO = h$ . Так как $O$ – центр правильного $n$ -угольника $A_1A_2\ldots A_n$ , то

OA_1 = OA_2 = \ldots = OA_n = R,

где $R$ – радиус описанной вокруг многоугольника окружности.
Высота $SO$ перпендикулярна плоскости основания пирамиды, следовательно, перпендикулярна отрезкам $OA_1, OA_2, \ldots , OA_n$ , т.е. треугольники $SOA_1, SOA_2, \ldots , SOA_n$ - прямоугольные. Значит, по теореме Пифагора получаем:

SA_1 = SA_2 = \ldots = SA_n = \sqrt{R^2 + h^2}.

То есть все боковые рёбра равны между собой. Кроме того, так как основанием является правильный многоугольник, то все рёбра основания равны между собой. Следовательно, все боковые грани являются равными равнобедренными треугольниками.