11 Вычисление расстояния от точки до плоскости

Вычисление расстояния от точки до плоскости

Определение: Расстояние от точки до плоскости равно длине перпендикуляра, опущенного из этой точки на плоскость.

1. (Построение перпендикуляра) Пусть точки $A$ , $C$ и $D$ лежат в плоскости $\alpha$ , а точка $B$ лежит вне плоскости $\alpha$ и $AB\perp \alpha$ . Мы хотим найти расстояние от точки $A$ до плоскости $(BCD)$ .
Опустим перпендикуляр $AH$ из точки $A$ на прямую $CD$ . Прямая $CD$ перпендикулярна прямым $AH$ и $AB$ , значит, $CD\perp (BAH)$ . Тогда высота $AM$ треугольника $ABH$ равна расстоянию от точки $A$ до плоскости $(BCD)$ . Получаем:

AM = \dfrac{AB\cdot AH}{BH} = \dfrac{AB\cdot AH}{\sqrt{AB^2 + AH^2}}.

2. Пусть прямая $a$ пересекает плоскость $\alpha$ в точке $O$ . На прямой $a$ отмечены две точки $A_1$ и $A_2$ , тогда верно, что:

\dfrac{\rho (A_1,\alpha)}{\rho (A_2,\alpha)} = \dfrac{A_1O}{A_2O}.

Доказательство: Пусть $H_1, H_2\in \alpha$ и $A_1H_1\perp \alpha$ , $A_2H_2\perp \alpha$ . Таким образом, $A_1H_1 = \rho (A_1,\alpha)$ и $A_2H_2 = \rho (A_2,\alpha)$ . Треугольники $OH_1A_1$ и $OH_2A_2$ подобны, значит,

\dfrac{A_1O}{A_2O} = \dfrac{A_1H_1}{A_2H_2}.

3. Если прямая $a$ параллельна плоскости $\alpha$ и точки $A$ и $B$ лежат на прямой $a$ , то

\rho (A,\alpha) = \rho (B,\alpha).

Доказательство: Пусть точки $M$ и $N$ лежат в плоскости $\alpha$ , причём $AM\perp \alpha$ и $BN\perp \alpha$ . Проведём через точки $A$ , $M$ и $N$ плоскость. Так как прямые $AM$ и $BN$ перпендикулярны плоскости $\alpha$ , то они параллельны, значит, прямая $BN$ лежит в плоскости $(AMN)$ . Таким образом, точка $B$ также лежит в плоскости $(AMN)$ . Прямая $AB$ не пересекает плоскость $\alpha$ , поэтому прямые $AB$ и $MN$ параллельны, значит, $ABNM$ – прямоугольник. Таким образом, $AM = BN$ .