14 Ортогональная проекция и площадь сечения

Ортогональная проекция и площадь сечения

1. Пусть на плоскость $\gamma$ мы спроецировали выпуклый многоугольник, тогда верна формула:

\dfrac{S_{\text{пр}}}{S} = \cos{\phi},

где $S$ – площадь многоугольника, $S_{\text{пр}}$ – площадь проекции многоугольника, $\phi$ – угол между плоскостью $\gamma$ и плоскостью, в которой лежит многоугольник.

Доказательство: Будем считать, что $0 < \phi < 90^{\circ}$ . Пусть наш многоугольник лежит в плоскости $\alpha$ . Для начала рассмотрим случай, когда наш многоугольник – это треугольник $ABC$ , у которого одна сторона (будем считать, что это сторона $AB$ ) параллельна $\ell$ – прямой пересечения плоскостей $\alpha$ и $\gamma$ . Проекцией треугольника $ABC$ на плоскость $\gamma$ является треугольник $A_1B_1C_1$ . Заметим, что плоскость $(ABB_1)$ пересекается с $\gamma$ по прямой $A_1B_1$ , при этом $\ell\,||\,AB$ , значит, $\ell\,||\,A_1B_1$ и $AB||A_1B_1$ . Также понятно, что $AA_1\,||\,BB_1$ , так как $AA_1\perp \gamma$ и $BB_1\perp \gamma$ . Таким образом, мы получили, что $ABB_1A_1$ – параллелограмм (на самом деле даже прямоугольник), значит, $AA_1 = BB_1$ и $A_1B_1 = AB$ .
Проведём через прямую $AB$ плоскость $\beta$ , параллельную плоскости $\gamma$ . Пусть прямая $CC_1$ пересекает плоскость $\beta$ в точке $C_2$ . Аналогично, $C_1C_2\,||\,BB_1$ и $BC_2\,||\,B_1C_1$ , значит, $BC_2 = B_1C_1$ . Также доказывается, что $AC_2 = A_1C_1$ . Таким образом, мы получили, что треугольники $ABC_2$ и $A_1B_1C_1$ равны, поэтому нам достаточно найти площадь треугольника $ABC_2$ .

Пусть $CH_1$ – высота треугольника $ABC$ . $C_2H_1$ – проекция $CH_1$ на плоскость $\beta$ , тогда по обратной теореме о трёх перпендикулярах получаем, что $AB\perp C_2H_1$ , поэтому $C_2H_1$ – высота треугольника $ABC_2$ . $AB$ – прямая пересечения плоскостей $\alpha$ и $\beta$ , причём $CH_1\perp AB$ и $C_2H_1\perp AB$ , значит, $\angle{(CH_1, C_2H_1)} = \phi$ . Тогда $C_2H_1 = CH_1\cdot\cos{\phi}$ . Получаем:

S_{A_1B_1C_1} = S_{ABC_2} = \dfrac{1}{2}\cdot AB\cdot C_2H_1 = \dfrac{1}{2}\cdot AB\cdot CH_1\cdot\cos{\phi} = S_{ABC}\cdot \cos{\phi}.

Следовательно, $\dfrac{S_{A_1B_1C_1}}{S_{ABC}} = \cos{\phi}$ .

Теперь рассмотрим случай, когда $ABC$ – произвольный треугольник. Мы можем выбрать одну из вершин треугольника так, что прямая, проходящая через эту точку параллельно $\ell$ , разобьёт его на два треугольника, у которых одна из сторон параллельна $\ell$ . Тогда для обоих из эти треугольников верна наша теорема, значит, она верна и для треугольника $ABC$ .

Наконец, если мы имеем дело с произвольным многоугольником, то поступим следующим образом: возьмём одну из точек многоугольника и проведём через неё всевозможные диагонали. Таким образом мы разобьём многоугольник на множество треугольников, для которых теорема верна, значит, она верна и для многоугольника.