9 Перпендикулярность в пространстве

Перпендикулярность в пространстве

№14 1. Если одна из двух параллельных прямых перпендикулярна третьей прямой, то и другая прямая перпендикулярна этой прямой.

Доказательство: Пусть прямые $a$ и $b$ параллельны и прямая $a$ перпендикулярна прямой $c$ . Проведём через прямую $c$ плоскость параллельно прямой $a$ и рассмотрим в этой плоскости прямую $a'$ , которая параллельна $a$ . Угол между прямыми $a'$ и $c$ равен $90^{\circ}$ . Так как $a\,||\, b$ , то и $b\,||a'$ , значит, $b\perp c$ .

Определение: Прямая называется перпендикулярной плоскости, если она перпендикулярна любой прямой, лежащей в этой плоскости.

2. Если одна из двух параллельных прямых перпендикулярна плоскости, то и другая прямая перпендикулярна этой плоскости.

Доказательство: Пусть прямые $a$ и $b$ параллельны и прямая $a$ перпендикулярна плоскости $\alpha$ . Пусть прямая $c$ лежит в плоскости $\alpha$ , тогда $a\perp c$ . Из пункта 1 следует, что и прямая $b$ перпендикулярна прямой $c$ . Следовательно, прямая $b$ перпендикулярна плоскости $\alpha$ .

3. Если две прямые перпендикулярны плоскости, то они параллельны.

Доказательство: Пусть прямые $a$ и $b$ перпендикулярны плоскости $\alpha$ . Через точку $B$ на прямой $b$ проведём прямую $b'$ , параллельную прямой $a$ . Тогда прямая $b'$ перпендикулярна плоскости $\alpha$ . При этом прямые $b$ и $b'$ лежат в некоторой плоскости $\beta$ . Плоскость $\beta$ пересекает плоскость $\alpha$ по прямой $c$ , значит, прямые $b$ и $b'$ перпендикулярны прямой $c$ , но такое может быть только если эти прямые совпадают. Следовательно, прямые $a$ и $b$ параллельны.

4. Если прямая перпендикулярна двум пересекающимся прямым, лежащим в плоскости, то она перпендикулярна этой плоскости.

Доказательство: Пусть прямые $b$ и $c$ лежат в плоскости $\alpha$ и пересекаются в точке $A$ . Прямая $a$ перпендикулярна прямым $b$ и $c$ .

Рассмотрим случай, когда $a$ проходит через $A$ . Пусть $d$ – прямая, лежащая в плоскости $\alpha$ , мы хотим доказать, что $a\perp d$ . Проведём через точку $A$ прямую $d'$ параллельную прямой $d$ . На прямой $a$ отметим точки $B$ и $C$ так, что $AB = AC$ . Проведём прямую, которая пересекает прямые $b$ , $c$ и $d'$ в точках $E$ , $F$ и $D$ . Так как $b$ перпендикулярна прямой $AB$ , то $b$ – серединный перпендикуляр к отрезку $BC$ . Аналогично, $c$ – серединный перпендикуляр к отрезку $BC$ . Отсюда получаем, что $BF = FC$ и $BE = EC$ , то есть треугольники $BFE$ и $CFE$ равны по трём сторонам, значит, $\angle{BFE} = \angle{CFE}$ . Таким образом, треугольники $BFD$ и $CFD$ равны по двум сторонам ( $BF = FC$ , $FD$ – общая) и углу ( $\angle{BFE} = \angle{CFE}$ ), поэтому $BD = DC$ . То есть треугольник $BDC$ равнобедренный, притом $AD$ – медиана этого треугольника, поэтому $AD$ – высота этого треугольника, то есть $a\perp d'$ , следовательно, $a\perp d$ .

Пусть теперь прямая $a$ не проходит через точку $A$ . Мы можем провести через точку $A$ прямую $a'$ , параллельную прямой $a$ . По доказанному выше заключаем, что $a'\perp \alpha$ , следовательно (по пункту 1), $a\perp \alpha$ .

5. (Прямая теорема о трёх перпендикулярах): Прямая, проведённая в плоскости через основание наклонной перпендикулярно её проекции на эту плоскость, перпендикулярна и самой наклонной.

(Обратная теорема о трёх перпендикулярах): Прямая, проведённая в плоскости через основание наклонной перпендикулярно ей, перпендикулярна и её проекции.

Доказательство: Для начала докажем прямую теорему о трёх перпендикулярах. Пусть $AB$ – наклонная, $AA'$ – перпендикуляр к плоскости $\alpha$ . То есть прямая $A'B$ – проекция прямой $AB$ на плоскость $\alpha$ . $b$ – прямая, лежащая в плоскости $\alpha$ и $b\perp A'B$ . Мы хотим показать, что $AB\perp b$ .

Рассмотрим плоскость $(BAA')$ . Прямая $b$ перпендикулярна прямым $AA'$ и $A'B$ , значит, $b\perp (BAA')$ . Прямая $AB$ лежит в плоскости $(BAA')$ , поэтому $b\perp AB$ .

Теперь докажем обратную теорему о трёх перпендикулярах. Пусть $AB$ – наклонная, прямая $b$ лежит в плоскости $\alpha$ , проходит через $B$ и $AB\perp b$ . $A'$ – проекция точки $A$ на плоскость $\alpha$ , значит, $A'B$ – проекция наклонной $AB$ на плоскость $\alpha$ .

Рассмотрим плоскость $(BAA')$ , мы знаем, что $b\perp AB$ и $b\perp AA'$ , значит, $b\perp (BAA')$ . Из этого следует, что прямая $b$ перпендикулярна прямой $A'B$ , лежащей в плоскости $(BAA')$ .

Замечание: Важно уточнить, что прямая $b$ не обязана проходить через точку $B$ .