4 Расположение плоскостей в пространстве

Расположение плоскостей в пространстве

Существует три варианта взаимного расположения двух плоскостей.

Случай 1: Две плоскости $\alpha$ и $\beta$ параллельны (то есть не имеют точек пересечения).

Случай 2: Две плоскости $\alpha$ и $\beta$ пересекаются по некоторой прямой $c$ .

Случай 3: Две плоскости $\alpha$ и $\beta$ совпадают.

1. Если две пересекающиеся прямые одной плоскости соответственно параллельны двум прямым другой плоскости, то эти плоскости параллельны.

Доказательство: Пусть нам даны плоскости $\alpha$ и $\beta$ . Прямые $a$ и $b$ лежат в плоскости $\alpha$ и пересекаются. Прямые $a_1$ и $b_1$ лежат в плоскости $\beta$ и $a_1\,||\,a$ и $b_1\,||\,b$ .

Допустим, что плоскости $\alpha$ и $\beta$ пересекаются. Тогда они пересекаются по некоторой прямой $c$ . В плоскости $\beta$ лежит прямая $a_1$ , которая параллельна прямой $a$ , значит, прямая $a$ параллельна плоскости $\beta$ . Но тогда прямая пересечения плоскостей $\alpha$ и $\beta$ параллельна прямой $a$ , то есть $a\,||\,c$ . Но абсолютно также можно показать, что $b\,||\,c$ , из чего следует, что $a\,||\,b$ . Но прямые $a$ и $b$ пересекаются. Противоречие. То есть плоскости $\alpha$ и $\beta$ параллельны.

2. Если две параллельные плоскости пересечены третьей, то линии их пересечения параллельны.

Доказательство: Пусть плоскость $\varphi$ пересекает параллельные плоскости $\alpha$ и $\beta$ по прямым $a$ и $b$ соответственно. Прямые $a$ и $b$ лежат в плоскости $\varphi$ . Допустим они пересекаются. Тогда плоскости $\alpha$ и $\beta$ имели бы точку пересечения, что противоречит их параллельности.