4 Умножение матриц и порядок множителей

Умножение матриц и порядок множителей

После поэлементных операций появляется новое правило. При умножении двух матриц недостаточно взять числа из одной и той же ячейки: каждый элемент результата собирается из целой строки первой матрицы и целого столбца второй. Сначала разберём механику этого действия, а в следующем разделе применим её к записи системы уравнений.

Сначала посмотрим на правило без букв. Если выбраны одна строка и один столбец, вычисление выглядит так:

\begin{pmatrix}2&-1\end{pmatrix} \begin{pmatrix}3\\4\end{pmatrix} =2\cdot3+(-1)\cdot4=2.

То есть «строка на столбец» означает: попарно перемножить числа на одинаковых позициях и сложить полученные произведения.

Первая, развёрнутая запись формулы нужна для вычислений: перемножаем числа на одинаковых позициях выбранной строки и столбца, затем складываем результаты. Знак $\sum$ записывает ту же сумму короче; индекс $r$ последовательно принимает значения от $1$ до $n$ . Если эта запись пока непривычна, для решения достаточно развёрнутой формулы слева.

Почему правило устроено именно так? Матрицу можно умножить на столбец чисел по тому же правилу «строка на столбец» и получить новый столбец. Если сначала вычислить $B\mathbf{x}$ , а затем полученный столбец умножить слева на $A$ , весь результат можно записать как $(AB)\mathbf{x}$ . Поэтому матричное умножение определено так, чтобы $A(B\mathbf{x})=(AB)\mathbf{x}$ .

Условие существования произведения удобно читать прямо по размерам:

\underbrace{(m\times\boldsymbol{n})}_{A} \cdot \underbrace{(\boldsymbol{n}\times k)}_{B} \longrightarrow \underbrace{(m\times k)}_{AB}

Внутренние числа $n$ должны совпасть: это длина строки $A$ и одновременно высота столбца $B$ . Внешние числа $m$ и $k$ становятся размером результата.

LaTeX — Элемент $c_{12}$ получается из первой строки левой матрицы и второго столбца правой

c_{12}=a_{11}b_{12}+a_{12}b_{22}+a_{13}b_{32}

Пример

Вычислим произведение

A= \begin{pmatrix} 1 & 2 & -1\\ 0 & 3 & 4 \end{pmatrix}, \qquad B= \begin{pmatrix} 2 & 1\\ -1 & 0\\ 3 & 2 \end{pmatrix}

Размеры согласованы:

(2\times3)(3\times2)\longrightarrow2\times2

Поэтому результат должен иметь две строки и два столбца. Считаем каждый элемент отдельно:

\begin{aligned} c_{11}&=1\cdot2+2\cdot(-1)+(-1)\cdot3=-3\\ c_{12}&=1\cdot1+2\cdot0+(-1)\cdot2=-1\\ c_{21}&=0\cdot2+3\cdot(-1)+4\cdot3=9\\ c_{22}&=0\cdot1+3\cdot0+4\cdot2=8 \end{aligned}

Следовательно,

AB= \begin{pmatrix} -3 & -1\\ 9 & 8 \end{pmatrix}

Быстрая проверка размера подтверждает, что матрица $2\times2$ получена в ожидаемой форме.

Почему порядок множителей важен

Для обычных чисел $ab=ba$ , но у матриц обратное произведение может не существовать или давать другой результат. На столбце порядок виден в цепочке $\mathbf{x}\to B\mathbf{x}\to A(B\mathbf{x})=(AB)\mathbf{x}$ : сначала действует $B$ , затем $A$ .

Конкретный случай выглядит так:

\begin{gathered} A_0= \begin{pmatrix}1&0&0\\0&1&0\end{pmatrix}, \qquad B_0= \begin{pmatrix}1\\2\\3\end{pmatrix},\\[4pt] A_0B_0= \begin{pmatrix}1\\2\end{pmatrix}, \qquad B_0A_0\text{ не определено: }(3\times1)(2\times3) \end{gathered}

В обратном порядке внутренние размеры $1$ и $2$ не совпадают.

В предыдущем примере $A\in M_{2\times3}(\mathbb{R})$ и $B\in M_{3\times2}(\mathbb{R})$ , поэтому существуют оба произведения, но

AB\in M_{2\times2}(\mathbb{R}), \qquad BA\in M_{3\times3}(\mathbb{R})

Матрицы разных размеров заведомо не равны.

Если обе матрицы квадратные одного размера, оба произведения существуют, но и тогда они могут различаться.

Минимальный контрпример. Пусть

A= \begin{pmatrix} 1 & 1\\ 0 & 1 \end{pmatrix}, \qquad B= \begin{pmatrix} 1 & 0\\ 1 & 1 \end{pmatrix}

Вычислим произведения в обоих порядках:

AB= \begin{pmatrix} 2 & 1\\ 1 & 1 \end{pmatrix}, \qquad BA= \begin{pmatrix} 1 & 1\\ 1 & 2 \end{pmatrix}

Получили $AB\ne BA$ . Достаточно различия хотя бы в одной позиции: например, верхние левые элементы равны $2$ и $1$ .

Например, любая квадратная матрица $A\in M_{n\times n}(\mathbb{R})$ коммутирует с $I_n$ :

AI_n=I_nA=A