12 Проверьте себя

Проверьте себя

Это короткая диагностика понимания, а не полноценный тренажёр. Сначала выполните задания самостоятельно; в пунктах с произведением обязательно подпишите размеры до начала вычислений.

Пусть $A$ имеет размер $2\times3$ , $B$ — $3\times2$ , а $C$ — $2\times3$ . Какие из выражений $A+B$ , $A+C$ , $AB$ , $BA$ , $CA$ определены? Укажите размеры существующих результатов.
Вычислите
$2P-Q, \qquad P= \begin{pmatrix} 1 & -3\\ 2 & 0 \end{pmatrix}, \qquad Q= \begin{pmatrix} 4 & 1\\ -2 & 5 \end{pmatrix}$
Для матриц
$U= \begin{pmatrix} 1 & 2\\ 0 & -1 \end{pmatrix}, \qquad V= \begin{pmatrix} 3 & 1\\ 2 & 0 \end{pmatrix}$
найдите $UV$ и $VU$ . Коммутируют ли матрицы?
Объясните, почему для матриц $A\in M_{2\times3}(\mathbb{R})$ и $B\in M_{3\times4}(\mathbb{R})$ выражение $A^TB^T$ не определено, а $B^TA^T$ определено. Какой размер имеет $B^TA^T$ ?
Пусть
$K= \begin{pmatrix} 2 & 1\\ 0 & -1 \end{pmatrix}$
Найдите $\operatorname{tr}(2K-I_2)$ .
Пусть
$R= \begin{pmatrix} 2 & 0\\ 0 & -1 \end{pmatrix}, \qquad p(t)=t^2-t$
Найдите $p(R)$ .
Ответьте кратко.
1. К каким видам относится матрица $3I_2$ ?
2. Запишите систему
  $\begin{cases} x-2y=3,\\ 4x+y=0 \end{cases}$
  в форме $A\mathbf{x}=\mathbf{b}$ .
3. Пусть $D=\begin{pmatrix}2&0\\0&-1\end{pmatrix}$ , а $X$ — произвольная матрица размера $2\times2$ . Не выполняя полное умножение, укажите, какие строки матрицы $X$ и на какие числа умножаются в произведении $DX$ , а также какие столбцы матрицы $X$ и на какие числа умножаются в произведении $XD$ .

Краткие разборы к разделу «Проверьте себя».

Сверяйте не только итог, но и проверку допустимости операции. Полные вычисления оставлены там, где они помогают увидеть правило.

Определены $A+C\in M_{2\times3}$ , $AB\in M_{2\times2}$ и $BA\in M_{3\times3}$ . Сумма $A+B$ не существует из-за разных размеров. Произведение $CA$ не существует, потому что во внутренних позициях записи $(2\times3)(2\times3)$ стоят разные числа $3$ и $2$ .
Операции выполняются поэлементно:
$\begin{aligned} 2P-Q &= \begin{pmatrix} 2-4 & -6-1\\ 4-(-2) & 0-5 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} -2 & -7\\ 6 & -5 \end{pmatrix} \end{aligned}$
Оба произведения существуют и имеют размер $2\times2$ . Например, $(UV)_{11}=1\cdot3+2\cdot2=7$ . Остальные элементы вычисляются тем же правилом:
$UV= \begin{pmatrix} 7 & 1\\ -2 & 0 \end{pmatrix}, \qquad VU= \begin{pmatrix} 3 & 5\\ 2 & 4 \end{pmatrix}$
Поскольку $UV\ne VU$ , матрицы не коммутируют.
После транспонирования $A^T$ имеет размер $3\times2$ , а $B^T$ — $4\times3$ . Поэтому $A^TB^T$ не существует: внутренние размеры $2$ и $4$ не совпадают. В обратном порядке
$(4\times\boldsymbol{3})(\boldsymbol{3}\times2) \longrightarrow4\times2$
Значит, $B^TA^T$ определено и имеет размер $4\times2$ , как и $(AB)^T$ .
По линейности следа
$\operatorname{tr}(2K-I_2) =2\operatorname{tr}K-\operatorname{tr}I_2 =2(2-1)-2=0$
Здесь $R^2=\begin{pmatrix}4&0\\0&1\end{pmatrix}$ , поэтому
$\begin{aligned} p(R) &=R^2-R=\\ &= \begin{pmatrix} 4 & 0\\ 0 & 1 \end{pmatrix} - \begin{pmatrix} 2 & 0\\ 0 & -1 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 2 & 0\\ 0 & 2 \end{pmatrix} =2I_2 \end{aligned}$

a) Матрица $3I_2$ квадратная, диагональная, скалярная, верхнетреугольная, нижнетреугольная и симметричная. Она не является единичной, потому что на главной диагонали стоят тройки, а не единицы.

b) Коэффициенты при $x$ образуют первый столбец матрицы $A$ .
Коэффициенты при $y$ образуют второй столбец:

\underbrace{\begin{pmatrix}1&-2\\4&1\end{pmatrix}}_{A} \underbrace{\begin{pmatrix}x\\y\end{pmatrix}}_{\mathbf{x}} = \underbrace{\begin{pmatrix}3\\0\end{pmatrix}}_{\mathbf{b}}.

c) В произведении $DX$ число $2$ умножает первую строку $X$ , а число $-1$ — вторую. В произведении $XD$ число $2$ умножает первый столбец $X$ , а число $-1$ — второй.