14 Итог

Размер и равенство

В размере \(m\times n\) число \(m\) задаёт строки, \(n\) — столбцы; равные матрицы имеют одинаковый размер и попарно равные элементы

Поэлементные операции

Складывать и вычитать можно только матрицы одинакового размера; число умножает каждый элемент

Произведение \(AB\)

Внутренние размеры должны совпасть; каждый элемент получается как строка \(A\) на столбец \(B\)

Порядок множителей

В общем случае \(AB\ne BA\); иногда одно из произведений вообще не существует

Единичная матрица и транспонирование

Для \(A\in M_{m\times n}\) верно \(I_mA=A\), \(AI_n=A\); при транспонировании строки становятся столбцами и \((AB)^T=B^TA^T\)

След

Сумма главной диагонали квадратной матрицы

Степень и многочлен

\(A^r\) означает повторное матричное умножение, \(A^0=I_n\); в свободном члене многочлена \(a_0\mapsto a_0I_n\)

Матричное уравнение

Нельзя делить на матрицу как на число; сохраняйте сторону умножения и проверяйте ответ подстановкой