6 Свойства матричных операций

Свойства матричных операций

Матрицы во многом ведут себя как числа, но только при подходящих размерах. Ниже условия указаны отдельно для каждого свойства, чтобы по самой записи было видно, почему все действия существуют.

Поскольку сложение матриц и умножение матрицы на число выполняются поэлементно, их свойства наследуются от соответствующих свойств действительных чисел в каждой ячейке. Для матричного умножения ассоциативность и дистрибутивность являются отдельными свойствами.

Теорема

Пусть $\lambda,\mu\in\mathbb{R}$ .

Сложение. Если $A,B,C\in M_{m\times n}(\mathbb{R})$ , то

\begin{aligned} A+B&=B+A\\ (A+B)+C&=A+(B+C)\\ A+O&=A\\ A+(-A)&=O \end{aligned}

Ассоциативность умножения. Если $A\in M_{m\times n}(\mathbb{R})$ , $B\in M_{n\times p}(\mathbb{R})$ , $C\in M_{p\times q}(\mathbb{R})$ , то

(AB)C=A(BC)

Дистрибутивность. Для $A\in M_{m\times n}(\mathbb{R})$ , $B,C\in M_{n\times p}(\mathbb{R})$ и для $A,B\in M_{m\times n}(\mathbb{R})$ , $C\in M_{n\times p}(\mathbb{R})$ соответственно верны равенства

\begin{aligned} A(B+C)&=AB+AC\\ (A+B)C&=AC+BC \end{aligned}

Умножение на число. Если $A,B\in M_{m\times n}(\mathbb{R})$ , то

\begin{aligned} \lambda(A+B)&=\lambda A+\lambda B\\ (\lambda+\mu)A&=\lambda A+\mu A\\ \lambda(\mu A)&=(\lambda\mu)A\\ 1A&=A\\ 0A&=O \end{aligned}

Умножение матриц в общем случае некоммутативно: равенство $AB=BA$ не является общим свойством.

В группе сложения нулевая матрица $O$ имеет тот же размер, что и $A$ : только тогда сумма $A+O$ определена. Свойства произведения разрешают группировать множители и раскрывать скобки, но не менять порядок. Последняя группа показывает, как числовые коэффициенты распределяются по сумме и объединяются между собой; числа $1$ и $0$ действуют на матрицу так же, как при обычном умножении, только результат $0A$ является нулевой матрицей нужного размера.

Например, если $A\in M_{m\times n}(\mathbb{R})$ , а $B,C\in M_{n\times p}(\mathbb{R})$ , дистрибутивность позволяет упростить выражение без покомпонентных вычислений:

A(B+C)-AB=AB+AC-AB=AC.

Ассоциативность $(AB)C=A(BC)$ разрешает не ставить скобки в произведении трёх матриц и писать $ABC$ . Но она не разрешает менять порядок: выражение $ABC$ нельзя без причины заменить на $BAC$ или $ACB$ .

Если матрицы действуют на столбец $\mathbf{x}$ , обе группировки описывают одну цепочку $\mathbf{x}\longrightarrow C\mathbf{x}\longrightarrow B(C\mathbf{x})\longrightarrow A(B(C\mathbf{x}))$ . Скобки указывают, какие произведения вычислять первыми, но не меняют порядок самих действий; строгая проверка равенства по элементам остаётся за более глубоким разбором свойств.

Особенно внимательно нужно выбирать единичную матрицу для прямоугольной матрицы. Если $A\in M_{m\times n}(\mathbb{R})$ , то

I_mA=A, \qquad AI_n=A

Слева нужна единичная матрица размера $m\times m$ , справа — размера $n\times n$ :

\underbrace{(m\times m)}_{I_m} \underbrace{(m\times n)}_{A} \longrightarrow m\times n, \qquad \underbrace{(m\times n)}_{A} \underbrace{(n\times n)}_{I_n} \longrightarrow m\times n

У матриц есть ещё одна важная особенность: произведение ненулевых матриц может оказаться нулевым. Например,

\begin{pmatrix} 1 & 0\\ 0 & 0 \end{pmatrix} \begin{pmatrix} 0 & 0\\ 0 & 1 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 0 & 0\\ 0 & 0 \end{pmatrix}

Поэтому из $AB=O$ нельзя автоматически заключить, что $A=O$ или $B=O$ . По той же причине матрицы нельзя сокращать как ненулевые числа: из $AX=AY$ без дополнительных условий не следует $X=Y$ . После переноса получается $A(X-Y)=O$ , а нулевое произведение ещё не означает, что $X-Y=O$ .

Когда привычное сокращение не работает.

Этот контрпример показывает границу механического применения правил: одного умения перемножать матрицы уже недостаточно, нужно понимать, при каких условиях множитель всё-таки можно сократить. В дальнейшем этот вопрос свяжет нулевое произведение с обратимостью, определителем, рангом и структурой решений систем. На курсе Максима Горбачёва по линейной алгебре в онлайн-школе «Профиматика» такие связи выстраиваются последовательно, чтобы свойства не оставались набором отдельных формул.