2 Матрица: размер, элементы и основные виды

Матрица: размер, элементы и основные виды

Представьте результаты трёх учеников по четырём заданиям. Их можно выписать длинным списком, а можно сохранить в таблице: каждая строка отвечает ученику, каждый столбец — заданию. Матрица делает именно это: организует числа так, чтобы положение каждого числа тоже несло смысл.

Запись $A\in M_{m\times n}(\mathbb{R})$ означает: $A$ — матрица размера $m\times n$ с действительными элементами.

LaTeX — Первый индекс выбирает строку, второй — столбец; элемент $a_{23}$ находится на их пересечении

Две матрицы равны только тогда, когда выполнены сразу два условия:

у них одинаковый размер;
элементы на одинаковых местах попарно равны.

Например,

\begin{pmatrix} 1 & 2\\ 3 & 4 \end{pmatrix} \ne \begin{pmatrix} 1 & 3\\ 2 & 4 \end{pmatrix}

Хотя наборы чисел совпадают, числа стоят на разных местах.

Основные виды матриц

Название вида матрицы обычно сообщает либо её форму, либо расположение ненулевых элементов. Одна матрица может одновременно относиться к нескольким видам. Например, единичная матрица одновременно квадратная, диагональная, скалярная и симметричная.

Вид	Пример	Главный признак
Матрица-строка	$\begin{pmatrix}1&-2&4\end{pmatrix}$	Одна строка, размер $1\times n$
Матрица-столбец	$\begin{pmatrix}3\\0\\-1\end{pmatrix}$	Один столбец, размер $m\times1$ ; такие матрицы часто называют векторами-столбцами
Прямоугольная	$\begin{pmatrix}1&2&3\\4&5&6\end{pmatrix}$	Число строк не равно числу столбцов
Квадратная	$\begin{pmatrix}1&2\\3&4\end{pmatrix}$	Число строк равно числу столбцов; размер записывают $n\times n$
Диагональная	$\begin{pmatrix}2&0&0\\0&-1&0\\0&0&5\end{pmatrix}$	Квадратная; все элементы вне главной диагонали равны нулю
Скалярная	$\begin{pmatrix}3&0\\0&3\end{pmatrix}$	Квадратная диагональная матрица с одинаковыми числами на диагонали
Единичная	$I_3=\begin{pmatrix}1&0&0\\0&1&0\\0&0&1\end{pmatrix}$	Квадратная; на главной диагонали стоят единицы, вне её — нули
Нулевая	$O_{2\times2}=\begin{pmatrix}0&0\\0&0\end{pmatrix}$	Все элементы равны нулю; если размер ясен, пишут $O$ , иначе — $O_{m\times n}$
Верхнетреугольная	$\begin{pmatrix}2&1&-3\\0&4&5\\0&0&7\end{pmatrix}$	Квадратная; все элементы ниже главной диагонали равны нулю
Нижнетреугольная	$\begin{pmatrix}2&0&0\\1&4&0\\-3&5&7\end{pmatrix}$	Квадратная; все элементы выше главной диагонали равны нулю
Симметричная	$\begin{pmatrix}1&2\\2&-3\end{pmatrix}$	Квадратная; зеркальные относительно главной диагонали элементы равны: $a_{ij}=a_{ji}$

Скалярную матрицу можно записать в виде $A=\lambda I_n$ , где $\lambda\in\mathbb{R}$ : она получается умножением каждого элемента единичной матрицы на одно и то же число $\lambda$ .

Виды матриц не образуют взаимоисключающих категорий. Например, матрица $4I_3$ одновременно квадратная, диагональная, скалярная, верхнетреугольная, нижнетреугольная и симметричная, но не единичная: на её диагонали стоят четвёрки, а не единицы.