9 Простейшие матричные уравнения

Простейшие матричные уравнения

В матричном уравнении неизвестным является не число, а целая матрица $X$ . Пока у нас нет общей операции деления матриц, поэтому безопаснее переносить слагаемые, делить на ненулевые числа и сравнивать элементы.

Пример

Решим уравнение

2X-A=B, \qquad A= \begin{pmatrix} 1 & -2\\ 0 & 3 \end{pmatrix}, \qquad B= \begin{pmatrix} 5 & 0\\ -2 & 1 \end{pmatrix}

Перенесём матрицу $A$ вправо:

2X=A+B

Обе матрицы справа имеют размер $2\times2$ , поэтому сложение допустимо:

\begin{aligned} 2X &= \begin{pmatrix} 1 & -2\\ 0 & 3 \end{pmatrix} + \begin{pmatrix} 5 & 0\\ -2 & 1 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 6 & -2\\ -2 & 4 \end{pmatrix} \end{aligned}

Деление на число $2$ означает умножение каждого элемента на $\frac{1}{2}$ :

X= \begin{pmatrix} 3 & -1\\ -1 & 2 \end{pmatrix}

Проверим ответ:

2X-A = \begin{pmatrix} 6 & -2\\ -2 & 4 \end{pmatrix} - \begin{pmatrix} 1 & -2\\ 0 & 3 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 5 & 0\\ -2 & 1 \end{pmatrix} =B

Если уравнение имеет вид $\lambda X=A$ , делить на $\lambda$ можно только при $\lambda\ne0$ . При $\lambda=0$ получается равенство $O=A$ : если $A\ne O$ , решений нет, а если $A=O$ , подходит любая матрица $X$ того же размера.

Равенство матриц означает равенство элементов, стоящих на одинаковых местах. Поэтому матричное равенство можно при необходимости превратить в несколько обычных числовых уравнений.

В уравнениях с произведением сторона умножения принципиальна. Возьмём диагональную матрицу $D$ и матрицу с неизвестными элементами:

Нули вне главной диагонали не смешивают элементы разных строк или столбцов. Поэтому умножение на $D$ слева масштабирует строки, а справа — столбцы:

Поэтому уравнения $DX=B$ и $XD=B$ — разные задачи. Такое простое покомпонентное решение возможно именно благодаря диагональному виду $D$ . Для произвольной матрицы $A$ элементы произведения $AX$ содержат суммы, поэтому равенство $AX=B$ обычно превращается в связанную систему уравнений относительно элементов $X$ .

Например, в уравнении

DX=B, \qquad B= \begin{pmatrix} 4 & 6\\ 3 & -2 \end{pmatrix}

сравнение соответствующих элементов даёт четыре обычных уравнения:

2x_{11}=4, \qquad 2x_{12}=6, \qquad -x_{21}=3, \qquad -x_{22}=-2

Отсюда

X= \begin{pmatrix} 2 & 3\\ -3 & 2 \end{pmatrix}

Прямая подстановка $DX=B$ подтверждает ответ.