5 Как матрица записывает систему уравнений

Как матрица записывает систему уравнений

Теперь правило умножения «строка на столбец» уже известно, поэтому можно увидеть одно из его первых применений. Матрицы позволяют записать сразу несколько линейных уравнений коротко, не теряя ни одного коэффициента.

Рассмотрим систему

\begin{cases} 2x-y+3z=5\\ -x+4y+2z=1 \end{cases}

Отдельно соберём коэффициенты, неизвестные и правые части:

A= \begin{pmatrix} 2 & -1 & 3\\ -1 & 4 & 2 \end{pmatrix}, \qquad \mathbf{x}= \begin{pmatrix} x\\y\\z \end{pmatrix}, \qquad \mathbf{b}= \begin{pmatrix} 5\\1 \end{pmatrix}

Матрица $A$ называется матрицей коэффициентов. Матрица-столбец $\mathbf{x}$ содержит неизвестные в том же порядке, в каком их коэффициенты стоят в столбцах $A$ . Матрица-столбец $\mathbf{b}$ содержит правые части. Всю систему можно записать одной строкой:

\boxed{A\mathbf{x}=\mathbf{b}}

Проверим, что произведение слева существует:

\underbrace{A}_{2\times\boldsymbol{3}} \underbrace{\mathbf{x}}_{\boldsymbol{3}\times1} \longrightarrow \underbrace{A\mathbf{x}}_{2\times1}

Внутренние числа $3$ совпали: в каждой строке $A$ три коэффициента, а в столбце $\mathbf{x}$ три неизвестных. Теперь умножаем каждую строку $A$ на единственный столбец $\mathbf{x}$ :

A\mathbf{x} = \begin{pmatrix} 2 & -1 & 3\\ -1 & 4 & 2 \end{pmatrix} \begin{pmatrix} x\\y\\z \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 2\cdot x+(-1)\cdot y+3\cdot z\\ (-1)\cdot x+4\cdot y+2\cdot z \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 2x-y+3z\\ -x+4y+2z \end{pmatrix}

Первая строка матрицы $A$ вернула левую часть первого уравнения, вторая строка — левую часть второго. Равенство двух матриц-столбцов означает равенство элементов на одинаковых местах, поэтому запись $A\mathbf{x}=\mathbf{b}$ равносильна исходной системе.