8 Степени и многочлены от матриц

Степени и многочлены от матриц

Степень матрицы определяется повторным умножением матрицы на саму себя. Поэтому обычные неотрицательные целые степени рассматривают только для квадратных матриц. Если матрица неквадратная, произведение $AA$ не определено: число её столбцов не равно числу её строк.

Важно: степень не вычисляется покомпонентно. В общем случае

A^2\ne(a_{ij}^2)

Левая часть — матричное произведение $AA$ , а справа просто таблица квадратов элементов.

Пример

Пусть

A= \begin{pmatrix} 1 & 1\\ 0 & 1 \end{pmatrix}

Тогда

\begin{aligned} A^2 &= \begin{pmatrix} 1 & 1\\ 0 & 1 \end{pmatrix} \begin{pmatrix} 1 & 1\\ 0 & 1 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 1 & 2\\ 0 & 1 \end{pmatrix} \end{aligned}

Ещё одно умножение даёт

A^3=A^2A = \begin{pmatrix} 1 & 3\\ 0 & 1 \end{pmatrix}

Верхний правый элемент не возводится в степень: он накапливается при матричном умножении.

Теперь усложним задачу: найдём $A^{100}$ , не выполняя $99$ последовательных умножений. Результаты для второй и третьей степеней подсказывают закономерность

\boxed{ A^n= \begin{pmatrix} 1 & n\\ 0 & 1 \end{pmatrix} }

Но наблюдение ещё не является доказательством. Проверим формулу методом математической индукции. При $n=1$ она совпадает с исходной матрицей.

Предположим, что формула верна для некоторого $n\geq1$ . Тогда

\begin{aligned} A^{n+1} &=A^nA = \begin{pmatrix} 1 & n\\ 0 & 1 \end{pmatrix} \begin{pmatrix} 1 & 1\\ 0 & 1 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 1 & n+1\\ 0 & 1 \end{pmatrix} \end{aligned}

Следовательно, формула верна для каждого целого $n\geq1$ , поэтому

A^{100}= \begin{pmatrix} 1 & 100\\ 0 & 1 \end{pmatrix}

Большой показатель изменил не только объём вычислений, но и сам способ решения: вместо многократного умножения потребовалось заметить структуру и обосновать её.

Когда алгоритма уже недостаточно.

Вычислить $A^2$ можно прямым умножением. В задаче на $A^{100}$ уже нужно распознать закономерность, сформулировать результат для произвольной степени и доказать его. Один разобранный пример показывает идею, но устойчивый навык появляется в задачах, где вид ответа и подход заранее не подсказаны.

Именно такой переход от вычислений по образцу к самостоятельному выбору метода отрабатывается на курсе Максима Горбачёва. Программа ведёт от базовых операций к более сложным связям между темами; занятия можно пересматривать в записи, к ним прилагаются конспекты, домашние задания и файлы с решениями, а вопросы можно обсуждать в чате курса. Так линейная алгебра осваивается не как набор шаблонов, а как цельная система методов для контрольных и сессии.

Для неотрицательных целых $r$ и $s$ действуют привычные правила степеней одной и той же матрицы:

A^rA^s=A^{r+s}, \qquad (A^r)^s=A^{rs}

В частности, квадратная матрица коммутирует со всеми своими степенями:

AA^r=A^rA=A^{r+1}, \qquad r\ge0.

В общем случае формула $(AB)^r=A^rB^r$ неверна, потому что в произведении $(AB)^2=ABAB$ нельзя переставить средние множители. Если $A$ и $B$ — квадратные матрицы одного размера и $AB=BA$ , то

(AB)^r=A^rB^r.

Многочлены от матриц

В обычном многочлене используются сложение, умножение на числа и неотрицательные целые степени. Для квадратной матрицы все эти действия тоже определены, поэтому из обычного многочлена можно построить аналогичное матричное выражение.

Свободное число $a_0$ превращается в матрицу $a_0I_n$ . В некоторых учебниках заранее договариваются отождествлять число $3$ с матрицей $3I_n$ . Если такое соглашение не введено, свободный член нужно писать как $3I_n$ ; в этой статье единичную матрицу указываем явно:

A^2-2A+3I_n

Продолжим предыдущий пример. Для той же матрицы $A$ возьмём многочлен

p(t)=t^2-2t+3

Ранее мы нашли

A^2= \begin{pmatrix} 1 & 2\\ 0 & 1 \end{pmatrix}

Теперь подставим матрицу в многочлен:

\begin{aligned} p(A) &=A^2-2A+3I_2=\\ &= \begin{pmatrix} 1 & 2\\ 0 & 1 \end{pmatrix} - \begin{pmatrix} 2 & 2\\ 0 & 2 \end{pmatrix} + \begin{pmatrix} 3 & 0\\ 0 & 3 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 2 & 0\\ 0 & 2 \end{pmatrix} =2I_2 \end{aligned}

Все слагаемые имеют одинаковый размер $2\times2$ , поэтому их сложение корректно. Обратите внимание: свободный член $3$ превратился в $3I_2$ , а не прибавился к каждому элементу отдельно.