7 Транспонирование и след матрицы

Транспонирование и след матрицы

Транспонирование меняет роли строк и столбцов. Оно особенно полезно при работе с векторами, симметричными матрицами и формулами, в которых нужно перевернуть порядок умножения.

Теперь можно коротко записать признак симметричной матрицы из первого раздела: квадратная матрица симметрична, если после замены строк столбцами она не меняется, то есть $A^T=A$ .

Основные свойства транспонирования:

\begin{aligned} (A^T)^T&=A\\ (A+B)^T&=A^T+B^T\\ (\lambda A)^T&=\lambda A^T \end{aligned}

\boxed{(AB)^T=B^TA^T}

В последней формуле порядок меняется на обратный. Чтобы увидеть механизм, рассмотрим элемент $(i,j)$ матрицы $(AB)^T$ . Это элемент $(j,i)$ произведения $AB$ , поэтому он получается из $j$ -й строки $A$ и $i$ -го столбца $B$ . После транспонирования они становятся соответственно $j$ -м столбцом $A^T$ и $i$ -й строкой $B^T$ , поэтому в новом произведении матрица $B^T$ записывается первой.

Совпадение цветов показывает, куда перешли строка и столбец; их места в произведении поменялись. Теперь проверим размеры. Если $A$ имеет размер $m\times n$ , а $B$ — $n\times k$ , то

(AB)^T\in M_{k\times m}(\mathbb{R})

и произведение $B^TA^T$ имеет тот же размер:

\underbrace{(k\times n)}_{B^T} \underbrace{(n\times m)}_{A^T} \longrightarrow k\times m

Выражение $A^TB^T$ может оказаться вообще не определено.

След матрицы

Сумма элементов главной диагонали регулярно возникает в формулах линейной алгебры, поэтому у неё есть отдельное название — след матрицы.

След определён только для квадратных матриц. Например, у матрицы

C= \begin{pmatrix} 2 & -1 & 0\\ 4 & 3 & 7\\ 1 & 0 & -5 \end{pmatrix}

на главной диагонали стоят числа $2,3,-5$ , поэтому

\operatorname{tr}C=2+3-5=0

Нулевой след не означает, что матрица нулевая: он сообщает только, что сумма диагональных элементов равна нулю.

Если $A,B\in M_{n\times n}(\mathbb{R})$ и $\lambda\in\mathbb{R}$ , то выполняются основные свойства следа:

\begin{aligned} \operatorname{tr}(A+B)&=\operatorname{tr}A+\operatorname{tr}B\\ \operatorname{tr}(\lambda A)&=\lambda\operatorname{tr}A\\ \operatorname{tr}(A^T)&=\operatorname{tr}A \end{aligned}

Дополнительное свойство. Если $A\in M_{m\times n}(\mathbb{R})$ и $B\in M_{n\times m}(\mathbb{R})$ , то обе матрицы $AB$ и $BA$ квадратные и выполняется равенство

\operatorname{tr}(AB)=\operatorname{tr}(BA)

Механизм равенства такой: оба следа собирают произведения $a_{ij}b_{ji}$ для всех допустимых пар индексов $i,j$ , только множители и слагаемые записаны в другом порядке. Для действительных чисел это не меняет итог; строгую запись через двойные суммы здесь опускаем.

Для матриц из примера на умножение мы получили

AB= \begin{pmatrix} -3 & -1\\ 9 & 8 \end{pmatrix}, \qquad \operatorname{tr}(AB)=5

Если вычислить $BA$ , его след тоже окажется равным $5$ , хотя само произведение имеет размер $3\times3$ . Равенство следов не означает равенство матриц.