7 Элементарные преобразования и треугольная матрица

Элементарные преобразования и треугольная матрица

Метод Гаусса можно использовать не только для решения систем. Если привести квадратную матрицу к треугольному виду и правильно учесть изменения определителя, вычисление сведётся к произведению диагональных элементов.

Преобразование строк	Что происходит с определителем	Что нужно запомнить
$R_i\leftrightarrow R_j$	Меняет знак	Новый определитель равен $-\det A$
$R_i\leftarrow\lambda R_i$ , $\lambda\ne0$	Умножается на $\lambda$	Обратимое элементарное преобразование
$R_j\leftarrow R_j+\lambda R_i$ , $i\ne j$	Не изменяется	Самая удобная операция для создания нулей

Те же три правила верны для столбцов. В одном вычислении допустимо работать и со строками, и со столбцами, если каждое изменение знака или множителя учтено ровно один раз.

Если формально умножить строку на ноль, получится нулевая строка и определитель станет равен нулю. Однако такое действие необратимо и не относится к элементарным преобразованиям строк.

Почему прибавление строки не меняет определитель. По линейности по строке новый определитель распадается на исходный определитель и добавочное слагаемое. В добавочном слагаемом две строки пропорциональны, поэтому оно равно нулю.

В общей формуле для треугольной матрицы все произведения, кроме произведения главной диагонали, содержат хотя бы один нулевой элемент. Поэтому остаётся ровно одно ненулевое слагаемое.

Пример

Вычислим определитель приведением к верхнетреугольному виду:

\det A= \begin{vmatrix} 0&1&1\\ -1&2&1\\ 1&1&-1 \end{vmatrix}

Шаг 1. Поднимаем ненулевой элемент в левый верхний угол. Меняем первую и третью строки местами, поэтому перед новым определителем появляется минус:

\det A =- \begin{vmatrix} 1&1&-1\\ -1&2&1\\ 0&1&1 \end{vmatrix}

Шаг 2. Создаём нуль под первым ведущим элементом. Операция $R_2\leftarrow R_2+R_1$ определитель не меняет:

\det A =- \begin{vmatrix} 1&1&-1\\ 0&3&0\\ 0&1&1 \end{vmatrix}

Шаг 3. Создаём нуль во втором столбце. Выполним $R_3\leftarrow R_3-\frac13R_2$ . Это снова прибавление кратной строки, поэтому значение не меняется:

\det A =- \begin{vmatrix} 1&1&-1\\ 0&3&0\\ 0&0&1 \end{vmatrix} =-(1\cdot3\cdot1)=-3

В матрице порядка $3$ учёт изменений ещё легко удержать в одной короткой цепочке. В порядке $4$ уже важен не только сам набор правил, но и выбор их последовательности: неудачный ведущий элемент быстро создаёт дроби, а забытый знак или множитель портит всё вычисление.

Пример

Вычислим определитель порядка $4$ , приводя матрицу к верхнетреугольному виду:

\det A= \begin{vmatrix} 0&2&2&4\\ 1&1&0&2\\ 2&4&5&9\\ -1&1&2&1 \end{vmatrix}

Шаг 1. Выбираем удобный первый ведущий элемент. В левом верхнем углу стоит нуль, зато во второй строке есть единица. Поменяем строки $R_1$ и $R_2$ местами. Одна перестановка меняет знак определителя:

\det A= -\begin{vmatrix} 1&1&0&2\\ 0&2&2&4\\ 2&4&5&9\\ -1&1&2&1 \end{vmatrix}

Шаг 2. Создаём нули под первой единицей. Выполним преобразования, которые не меняют значение определителя:

R_3\leftarrow R_3-2R_1 \qquad R_4\leftarrow R_4+R_1

Тогда

\det A= -\begin{vmatrix} 1&1&0&2\\ 0&2&2&4\\ 0&2&5&5\\ 0&2&2&3 \end{vmatrix}

Шаг 3. Отделяем множитель до продолжения вычислений. Во второй строке все элементы делятся на $2$ . Вынесем этот множитель сразу, чтобы дальше работать с ведущей единицей и не вводить дроби:

\det A= -2\begin{vmatrix} 1&1&0&2\\ 0&1&1&2\\ 0&2&5&5\\ 0&2&2&3 \end{vmatrix}

Коэффициент $-2$ теперь должен оставаться перед определителем до конца вычисления.

[4] Шаг 4. Завершаем приведение к треугольному виду. Используем вторую строку для создания нулей ниже её ведущего элемента:

R_3\leftarrow R_3-2R_2 \qquad R_4\leftarrow R_4-2R_2

Получаем

\det A= -2\begin{vmatrix} 1&1&0&2\\ 0&1&1&2\\ 0&0&3&1\\ 0&0&0&-1 \end{vmatrix} =-2\bigl(1\cdot1\cdot3\cdot(-1)\bigr)=6

Итак, $\det A=6$ . Проверка учёта операций проста: одна перестановка дала минус, вынесение двойки — множитель $2$ , а все прибавления кратных строк значения определителя не изменили.

Почему одного сложного примера всё ещё недостаточно.

В этой задаче пришлось не просто применить формулу: мы нашли удобную единицу, переставили строки с учётом знака, создали нули, вовремя вынесли множитель и только затем прочитали определитель по диагонали. Каждый шаг по отдельности знаком, но короткий маршрут появляется лишь тогда, когда свойства распознаются и соединяются без подсказки. Для другой матрицы лучшим выбором могут оказаться преобразования столбцов, разложение по строке с нулями или иная последовательность действий, поэтому один разобранный пример не превращается в универсальный алгоритм.

На курсе Максима Горбачёва переход от решения по образцу к самостоятельному выбору метода выстраивается через вебинары и записи занятий, конспекты, домашние задания с отдельными файлами с подробными решениями и чат с учениками и преподавателями. Такая система позволяет сначала понять логику преобразований, затем решить задачу самостоятельно и сопоставить свой маршрут с полным разбором — именно так формируется навык, необходимый для контрольных работ и сессии.