В формулах порядков \(2\) и \(3\) каждое произведение содержит ровно по одному элементу из каждой строки и каждого столбца. Именно это правило сохраняется для любого порядка.
Например, перестановка \((2,3,1)\) имеет две инверсии: числа \(2\) и \(3\) оба стоят раньше меньшего числа \(1\). Поэтому её знак положителен. Перестановка \((1,3,2)\) имеет одну инверсию, значит, её знак отрицателен.
Перестановка сообщает, из какого столбца выбирается элемент в каждой строке
Множество всех перестановок чисел \(1,\ldots,n\) обозначают \(S_n\). В нём \(n!\) перестановок, где \(n!=1\cdot2\cdot\ldots\cdot n\) — факториал числа \(n\).
Расшифруем формулу по шагам:
из каждой строки выбирается один элемент;
номера выбранных столбцов не повторяются, поэтому из каждого столбца тоже берётся один элемент;
выбранные элементы перемножаются;
знак произведения определяется чётностью перестановки;
результаты складываются по всем \(n!\) перестановкам.
Для матрицы \(3\times3\) произведение \(a_{12}a_{23}a_{31}\) соответствует перестановке \((2,3,1)\) и входит с плюсом. Произведение \(a_{11}a_{23}a_{32}\) соответствует перестановке \((1,3,2)\) и входит с минусом. Так общая формула объясняет шесть слагаемых правила Саррюса.
